調和數

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調和數可以指跟約數和有關的整數歐爾調和數。在數學上,第n個調和數是首n個正整數的倒數和,即

H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的n倍。它可以推廣到正整數的倒數的之和,即H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}

調和級數的性質[编辑]

根據定義,調和數滿足遞推關係

H_{n+1} = H_{n} + \frac{1}{n+1}

它也滿足恆等式

\sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_n - n

計算[编辑]

對於第n項調和數,有以下公式

 H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx.

設:x = 1 - u\,\!,由此得到

\begin{align}
H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx \\
&=-\int_1^0\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\
&= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom nk u^{k-1}\right]\,du \\
&= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom nk \int_0^1u^{k-1}\,du \\
&= \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk .
\end{align}


對於調和數H_n,當n不是太大時,可以直接計算。

當n特別大時,可以進行估算。

因為 \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\right) = \gamma,

由此得到

H_n \sim \ln{n}+\gamma

當n越大時,估算越精確。

更精確的估算是

H_n \sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,

其中B_k是第k項伯努利數


廣義調和數[编辑]

廣義調和數滿足

H_\alpha = \int_0^1\frac{1-x^\alpha}{1-x}\,dx\, .

由此,我們得到

 H_{\frac{3}{4}} = \tfrac{4}{3}-3\ln{2}+\tfrac{\pi}{2}
 H_{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2}(1-\ln{3})+\sqrt{3}\tfrac{\pi}{6}
 H_{\frac{1}{2}} = 2 -2\ln{2}
 H_{\frac{1}{3}} = 3-\tfrac{\pi}{2\sqrt{3}} -\tfrac{3}{2}\ln{3}
 H_{\frac{1}{4}} = 4-\tfrac{\pi}{2} - 3\ln{2}
 H_{\frac{1}{6}} = 6-\tfrac{\pi}{2} \sqrt{3} -2\ln{2} -\tfrac{3}{2} \ln{3}
 H_{\frac{1}{8}} = 8-\tfrac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \tfrac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right\}
 H_{\frac{1}{12}} = 12-3\left(\ln{2}+\tfrac{\ln{3}}{2}\right)-\pi\left(1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\sqrt{3}\ln \left (\sqrt{2-\sqrt{3}} \right )

微積分[编辑]

對於每一個大於0的x,有

 H_{x} =  x \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(x+k)}\, .

由此,得

 \int_0^1H_{x}\,dx = \gamma\, ,

對於每一個n,有

 \int_0^nH_{x}\,dx = \ln{(n!)}+n\gamma\, .

其他數列[编辑]

根據定義,其他類似于調和數的數列有以下計算方法:

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \psi (n - 1) + \gamma

\sum_{k=0}^n \frac{1}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left[\psi \left(n + \frac{3}{2}\right) + \gamma \right] + \ln{2}

\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = \frac{H_n}{2}