調和映射

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數學上,在黎曼流形MN之間的一個(光滑)映射,稱為調和映射,如果這個映射是狄利克雷能量泛函

E(\varphi) = \int_M \|d\varphi\|^2\, d\operatorname{Vol}.

的一個臨界點

試想像M橡膠做的,N大理石做的,形狀由其度量決定,而映射φ:MN給出把橡膠「貼附」在大理石上的方式。E(φ)就表示因橡膠的張力產生的彈性位能。用這個比喻,φ稱為調和映射,如果把橡膠「鬆開」,但仍限制要處處與大理石接觸時,那麼橡膠已經在平衡的位置,所以不會「縮回」到另一個形狀。

完備黎曼流形到非正截面曲率的完備黎曼流形存在調和映射,這個結果是Eells & Sampson (1964)證出。

數學定義[编辑]

給出黎曼流形(M,g), (N,h)和映射φ:MN,定義φ在M中一點x上的能量密度

e(\varphi) = \frac12\|d\varphi\|^2

其中\|d\varphi\|^2是φ的微分範數平方,範數是對向量叢T*M⊗φ−1TN上的導出度量而取。能量是能量密度在M上的積分

E(\varphi) = \int_M e(\varphi)\, dv_g = \frac{1}{2} \int_M \|d\varphi\|^2\, dv_g

其中dvgM上由度量導出的測度。這是古典狄利克雷能量的推廣。

能量密度可以更明確地表作

e(\varphi) = \frac12\operatorname{trace}_g\varphi^*h.

愛因斯坦求和約定,上式右方在局部座標中可表示為:

e(\varphi) = \frac12g^{ij}h_{\alpha\beta}\frac{\partial\varphi^\alpha}{\partial x^i}\frac{\partial\varphi^\beta}{\partial x^j}.

M緊緻時,則φ稱為調和映射,若φ是能量泛函E的一個臨界點。這個定義可以延伸至M不是緊緻的情況:φ稱為調和映射,若φ限制到任一個緊緻區域上都是調和映射,換一個更通常的說法,就是若在索伯列夫空間H1,2(M,N)中φ是能量泛函一個臨界點。

調和映射的另一個等價定義,就是φ滿足與泛函E對應的歐拉-拉格朗日方程

\tau(\varphi)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \operatorname{trace}_g\nabla d\varphi = 0

其中∇是向量叢T*M⊗φ−1上由MN列維-奇維塔聯絡導出的聯絡。式中τ(φ)是向量叢φ−1(TN)的截面,稱為φ的張力場。用上文的物理比喻來說,τ(φ)是「橡膠」流形M要使能量極小化時在N中擬欲移動的方向。

例子[编辑]

  • 恆等映射和常映射是調和映射。
  • M是實數線R(或圓S1),也就是說φ是N上的一條曲線(或閉曲線),那麼φ是調和映射當且僅當φ是測地線。(這時上述的橡膠與大理石比喻,就變為測地線常用的橡皮圈比喻。)
  • N是歐氏空間Rn,那麼φ是調和映射當且僅當φ是通常意義上的調和函數(即拉普拉斯方程的一個解)。這是狄利克雷原理的結果。若φ是滿射到N的開子集上的微分同胚,則φ給出一個調和座標系
  • 在歐氏空間中的極小曲面都是調和浸入
  • 更一般地,N中的極小子流形M是從MN的調和浸入。
  • 全測地映射都是調和映射。(此時不僅∇dφ*h的跡(trace),連∇dφ*h也變為零。)
  • 凱勒流形間的任何全純映射都是調和映射。

度量空間的調和映射[编辑]

對於兩個度量空間之間的映射u : MN這個比黎曼流形弱的場合,能量積分也有相應的推廣。(Jost 1995)這時用以下形式的函數代替能量積分:

e_\epsilon(u)(x) = \frac{\int_M d^2(u(x),u(y))\,d\mu^\epsilon_x(y)}{\int_M d^2(x,y)\,d\mu^\epsilon_x(y)}

其中με
x
是依附在M每一點上的測度族。

參考[编辑]

  • Eells, J.; Sampson, J.H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math., 1964, 86: 109–160, JSTOR 2373037 .
  • Eells, J.; Lemaire, J., A report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1978, 10: 1–68, doi:10.1112/blms/10.1.1 .
  • Eells, J.; Lemaire, J., Another report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1988, 20: 385–524 .
  • Jost, Jürgen, Equilibrium maps between metric spaces, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 1994, 2 (2): 173–204, doi:10.1007/BF01191341, ISSN 0944-2669, MR 1385525 .
  • Jost, Jürgen, Riemannian Geometry and Geometric Analysis 4th, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-3-540-25907-7 .

外部鏈結[编辑]