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諧振子

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一個無阻尼彈簧 - 質量體系統構成一個簡諧振子。

古典力學中,一個諧振子英语harmonic oscillator)乃一個系統,當其從平衡位置位移,會感受到一個恢復F正比於位移x,並遵守虎克定律

 F = -k x \,

其中k是一個正值常數

如果F是系統僅受的力,則系統稱作簡諧振子(簡單和諧振子)。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦餘弦振動,且振幅頻率都是常數(頻率跟振幅無關)。

若同時存在一摩擦力正比於速度,則會存在阻尼現象,稱這諧振子為阻尼振子。在這樣的情形,振動頻率小於無阻尼情形,且振幅隨著時間減小。

若同時存在跟時間相關的外力,諧振子則稱作是受驅振子

力學上的例子包括了單擺(限於小角度位移之近似)、連接到彈簧的質量體,以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子(electrical harmonic oscillator)(參見RLC電路)。

簡諧振子[编辑]

簡諧振子沒有驅動力,也沒有摩擦阻尼),所以淨力單純為:

 F = -k x \,

利用牛頓第二定律

 F = m a = -k x \,

加速度a 等於是x的二次微分導數:

 m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x

若定義{\omega_0}^2 = k/m,則方程式可以寫為如下:

 \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0

可以觀察到:

 \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}

然後代回原式得到

 \frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0
 \mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot  \mathrm{d}x = 0

積分可得

 \dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K

其中K積分常數,設K = (A ω0)2

 \dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2-{\omega_0}^2 x^2
 \dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2}
 \frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t

經過積分,結果(包括積分常數φ)為

 \begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\  \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}

並有一般解

 x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \,

其中振幅A \,以及相位\phi \,可透過初始條件來決定。

另外也可以將一般解寫成

 x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \,

其中\phi \,的值與前面形式相比,偏移了\pi/2 \,

又可以寫作

 x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \,

其中A \,B \,為透過初始條件決定的常數,以替代前面形式的A \,\phi \,

振動頻率則為

 f = \frac{\omega_0}{2\pi}

動能

T = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega_0 t + \phi).

以及勢能(位能)

U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi)

所以系統總能為定值:

E = \frac{1}{2} k A^2

受驅諧振子[编辑]

一受驅諧振子滿足如下非齊次(nonhomogeneous)二階線性微分方程

\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)

其中A_{0}是驅動振幅而\omega是驅動頻率,針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC(電感L-電容C)電路以及理想化的彈簧系統(沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力)。

阻尼諧振子[编辑]

一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程

\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = 0

其中b是由實驗決定的阻尼常數,滿足關係式F = -bv。遵守此方程式的系統,其中一例為置於水中的加權彈簧(weighted spring),若假設水所施的阻尼力與速度v呈線性比例關係。

阻尼諧振子的頻率為

\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - R_m^2}

其中

R_m=\frac{b}{2m}.

受驅阻尼振子[编辑]

受驅阻尼振子滿足方程式

m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + r \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx= F_0 \cos(\omega t)

其一般解為兩個解的和,一為暫態解( 無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解),與初始條件相關;另一為穩態解(非齊次常微分方程式之特殊解),與初始條件無關,只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。

穩態解為

 x(t) = \frac{F_0}{Z_m \omega} \sin(\omega t - \phi)

其中

 Z_m = \sqrt{r^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}

阻抗(impedance)線性響應函數(linear response function)之絕對值

 Z = r + i\left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)

 \phi = \arctan\left(\frac{\omega m - \frac{k}{\omega}}{r}\right)

為相對於驅動力(相位定為0)的振動相位

可以觀察到,當在某特定驅動頻率 \omega 時,振子振動之振幅(相對於一給定之F_0)達到最大。這發生在頻率為

 {\omega}_r = \sqrt{\frac{k}{m} - 2\left(\frac{r}{2 m}\right)^2}

之時,而此現象稱之為(位移上的)共振

總結來說,在穩態時,振動頻率等同於驅動力的頻率,但振動與驅動力在相位上有偏移;且振幅大小與驅動頻率相關,當驅動頻率與振動系統偏好(共振)頻率相同時,振幅達到最大。

例子:RLC電路電阻類比於阻尼

完整數學描述[编辑]

多數諧振子,至少近似上地說,是在解以下的微分方程式:

\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)

其中t是時間,b是阻尼常數,ωo本徵角頻率,而Aocos(ωt)代表驅動系統的某種事物,其振幅Ao而角頻率ω。x是進行振盪的被測量量;可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關,關係式為

 f = \frac{\omega}{2 \pi}.

重要項[编辑]

  • 振幅:偏離平衡點的最大的位移量。
  • 週期:系統完成一個振盪循環所需的時間,為頻率的倒數。
  • 頻率:單位時間內系統執行的循環總數量(通常以赫茲 = 1/秒為量度)。
  • 角頻率 \omega = 2 \pi f
  • 相位:系统完成了循环的多少(开始时,系统的相位为零;完成了循环的一半时,系统的相位为 \pi )。
  • 初始條件t = 0时系统的状态。