# 諧振子

$F = -k x \,$

## 簡諧振子

$F = -k x \,$

$F = m a = -k x \,$

$m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0$

$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = \ddot x = \frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\dot {x}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot {x}$

$\frac{\mathrm{d} \dot{x}}{\mathrm{d}x}\dot x + {\omega_0}^2 x = 0$
$\mathrm{d} \dot{x}\cdot \dot x + {\omega_0}^2 x \cdot \mathrm{d}x = 0$

$\dot{x}^2 + {\omega_0}^2 x^2 = K$

$\dot{x}^2 = A^2 {\omega_0}^2-{\omega_0}^2 x^2$
$\dot{x} = \pm {\omega_0} \sqrt{A^2 - x^2}$
$\frac {\mathrm{d}x}{\pm \sqrt{A^2 - x^2}} = {\omega_0}\mathrm{d}t$

$\begin{cases} \arcsin{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \\ \arccos{\frac {x}{A}}= \omega_0 t + \phi \end{cases}$

$x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \,$

$x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \,$

$x = A \sin{\omega_0 t} + B \cos{\omega_0 t} \,$

$f = \frac{\omega_0}{2\pi}$

$T = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega_0 t + \phi)$.

$U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi)$

$E = \frac{1}{2} k A^2$

## 受驅諧振子

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)$

## 阻尼諧振子

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = 0$

$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - R_m^2}$

$R_m=\frac{b}{2m}.$

## 受驅阻尼振子

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + r \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + kx= F_0 \cos(\omega t)$

$x(t) = \frac{F_0}{Z_m \omega} \sin(\omega t - \phi)$

$Z_m = \sqrt{r^2 + \left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)^2}$
$Z = r + i\left(\omega m - \frac{k}{\omega}\right)$

$\phi = \arctan\left(\frac{\omega m - \frac{k}{\omega}}{r}\right)$

${\omega}_r = \sqrt{\frac{k}{m} - 2\left(\frac{r}{2 m}\right)^2}$

## 完整數學描述

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{b}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + {\omega_0}^2x = A_0 \cos(\omega t)$

$f = \frac{\omega}{2 \pi}.$

### 重要項

• 振幅：偏離平衡點的最大的位移量。
• 週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。
• 頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1/秒為量度）。
• 角頻率$\omega = 2 \pi f$
• 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为$\pi$）。
• 初始條件t = 0时系统的状态。