諾特環

諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。

定義

一個環$A$稱作諾特環，若且唯若對每個由$A$的理想構成的升鏈$\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \ldots, \subset\mathfrak{a}_n \subset\ldots$，必存在$N \subset \mathbb{N}$，使得對所有的$n,m \geq N$都有$\mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_m$（換言之，此升鏈將會固定）。

另外一種等價的定義是：$A$的每個理想都是有限生成的。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左諾特環與右諾特環。$A$是左（右）諾特環若且唯若$A$在自己的左乘法下形成一個左（右）諾特模。對於交換環則無須分別左右。

基本性質

• 若 $A_1, A_2$ 是諾特環，則其直積$A_1 \times A_2$亦然。
• 若 $A$是諾特環，$I \subset A$是任一理想，則其商環$A/I$亦然。
• 若 $A$是諾特環，則其上的多項式環$A[X]$及冪級數環$A[[X]]$都是諾特環。
• 若 $A$是交換諾特環，則其對任一積性子集$S$的局部化也是諾特環。
• 若 $A$是交換環，$\mathfrak{q} \subset A$為一有限生成理想，且$A/\mathfrak{q}$是諾特環，則其完備化$\widehat{A} = \lim_n A/\mathfrak{q}^n$也是諾特環。
• 一個左（右）阿廷環必定是左（右）諾特環。

例子

• 整數環$\mathbb{Z}$是諾特環。
• 對任意的域$k$，多項式環$k[X_1,\ldots,X_n]$及其商是諾特環。這是代數幾何中最常見的情形。

以下是非諾特環的例子：

• 考慮有可數個變元的多項式環$k[X_1, X_2, \ldots]$，並考慮升鏈$(X_1) \subset (X_1, X_2) \subset \cdots \subset (X_1, \ldots, X_n) \subset \cdots$，此升鏈不會固定。
• 考慮$\mathbb{R}$ 上的全體連續函數，它們在逐點作乘法下構成一個環。考慮升鏈$I_n := \{f : x \geq n \Rightarrow f(x)=0 \}$，此升鏈不會固定。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X