譜序列

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同調代數中,譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術,由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲群上同調同倫理論

動機[编辑]

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學,而引入的概念,從而面臨計算層上同調的問題。為此,勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法,它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現:勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題;更抽象地說,對合成函子取導函子也會得到譜序列,稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架,譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項,實際計算時往往會陷入帶(至少)三重指標的的迷陣。在許多實際狀況中,譜序列最後會「塌陷」,此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷,則須靠一些竅門取得有用的資訊。

形式定義[编辑]

以下固定一個阿貝爾範疇 \mathcal{A},常見例子是一個環上的範疇。譜序列是一個非負整數 r_0 及下述資料:

  • 對所有整數 r \geq r_0,有範疇中的一個對象 E_r
  • 自同態 d_r: E_r \to E_r,滿足 d_r^2 = 0,稱為邊界映射微分
  • E_{r+1}H(E_r, d_r) 的同構。

通常省去 E_{r+1}H(E_r, d_r) 的同構,而寫成等式。

最基本的例子是鏈複形 C_\bullet,它帶有一個微分 d。取 r_0=0,並令 E_0 = C_\bullet,於是必有 E_1 = H(C_\bullet);這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇,就是零映射。於是有 E_1 = E_2 = \cdots。綜之,我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列:

  • E_0 = C_\bullet
  • E_r = H(C_\bullet) \; (r \geq 1)

由於只有 r=0 時微分映射才可能非零,此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模(或層)範疇上的譜序列,表作 E_r^{p,q},此時的微分映射次數與 r 有關:對於上同調譜序列,d_r: E_r \to E_r 的次數是 (r, -r+1)。對於同調譜序列,通常將各項寫成 E_r,微分映射 d^r: E_r \to E_r 的次數是 (-r,r-1)

譜序列之間的態射 f: E \to E' 定義為一族態射 f_r: E_r \to E_r',使之與同構 E_{r+1} \simeq H(E_r, d_r) 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

正合偶[编辑]

交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形,而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見,此時對於許多譜序列,正合偶是唯一已知的構造法。事實上,正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇(通常取一個環上的雙分次模)\mathcal{A},一個正合偶是:

Exact couple.png
  • 一對對象 A, C
  • 三個態射:
    • f: A \to A
    • g: A \to C
    • h: C \to A

使之滿足下述正合條件:

  • Image f = Kernel g
  • Image g = Kernel h
  • Image h = Kernel f

將這組資料簡記為 (A,C,f,g,h)。正合偶通常以三角形表示。C 對應到譜序列的 E_0 項,而 A 是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項,以下將構造導出偶。令:

  • d := g \circ h
  • A' := f(A)
  • C' := \mathrm{Ker}(d) /\mathrm{Im}(d)
  • f' := f|_{A'}
  • h': C' \to A'h 導出。
  • g' : A' \to C' 定義如下:若 \mathcal{A} 為某個環上的範疇,對任一 a \in A',存在 b \in A' 使得 a = f(b),定義 g'(a)g(b)C' 中的像。一般而言,可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射 g'

現在可以驗證 (A', C', f', g', h') 構成正合偶。C' 對應到譜序列的 E_1 項。續行此法,可以得到一族正合偶 (A^{(n)}, C^{(n)}, f^{(n)}, g^{(n)}, h^{(n)})。相應的譜序列定義為 E_n := C^{(n)}d_n := g^{(n)} \circ h^{(n)}

圖解[编辑]

譜序列的 E2

一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊,不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 r, p, q。對每個 r,設想有一張方格紙,分別讓 p, q 對應於橫、縱軸。每一個格子點 (p,q) 對應到對象 E_r^{p,q}。微分 d_r 的次數為 (r,-r+1),方向如圖所示。

收斂與退化[编辑]

在第一個簡單的例子中,譜序列在 r \geq 1 後的微分映射皆為零,故不再改變。這時可定義該譜序列的極限E_\infty := E_r \; (r \geq 1)。對於一般的譜序列,也往往存在一個極限,極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義:若譜序列 E_r^{p,q} 對每個 (p,q) 都存在 r(p,q) \in \N,使得當 r \geq r(p,q) 時,d_r^{p-r,q+r-1}: E_r^{p-r,q+r-1} \to E_r^{p,q}d_r^{p,q}: E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1} 皆為零,則稱 E_r^{p,q}極限項E_\infty^{p,q} := E_r^{p,q}(取充分大的 r)。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列,此時極限項恆存在。

其中的指標 p 指涉過濾結構。

若存在對象 E^\bullet、過濾結構 \cdots \subset F^{p+1}E^\bullet \subset F^{p} E^\bullet \subset \cdots,及一族同構 \beta^{p,q}: E_\infty^{p,q} \simeq \mathrm{gr}^p E^{p+q},滿足 \bigcap_p F^p E^\bullet = (0), \bigcup_p F^p E^\bullet = E^\bullet(這種過濾稱為「正則過濾」),則稱 E_r^{p,q} 收斂E^\bullet,通常表為下述符號:

E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^{p,q}

習慣上,人們也常將左式寫成 E_2^{p,q},因為譜序列中最重要的頁往往是 E_2^{p,q}

最簡單的收斂特例是退化

定義:固定 r \in \N,若對每個 s \geq r,微分映射 d_s 都是零,則稱該譜序列在第 r 頁退化。

退化性保證了 E_r \simeq E_{r+1} \simeq \cdots,此時 E_r 即其極限。如果一個雙分次譜序列 E_r^{p,q} 的非零項集中於某一條水平或垂直線上,則必在 r=2 時退化。

例子[编辑]

過濾結構導出的譜序列[编辑]

最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象,通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象 C 及微分映射 d: C \to C ,使之滿足 d^2=0,以及

 C = F^0 C \supset F^1 C \supset \cdots F^n C \supset F^{n+1}C = 0
 d F^p C \subset F^p C

同調群上也有相應的過濾

F^p H(C,d) := \mathrm{Im}(H(F^p C, d) \to H(C,d)

對此,定義相應的分次對象

 \mathrm{gr}_F C := \bigoplus_{p \geq 0} F^p C / F^{p+1} C
 \mathrm{gr}_F H(C) := \bigoplus_{p \geq 0} F^p H(C) / F^{p+1} H(C))

取微分映射為零,可視之為複形。

以下式定義譜序列:

Z_r^p := {x \in F^p C : dx \in F^{p+r} C}
E_r^p := Z_r^p / (d Z_{r-1}^{p-r+1} + Z_{r-1}^{p+1}) = Z_r^p / (Z_r^p \cap (dF^{p-r+1}C + F^{p+1}C))

此時有 E_0^p = F^p C / F^{p+1} C, E_1^p = H(\mathrm{gr}^p C),且譜序列收斂:

E_r^p \Rightarrow E_\infty^p = \mathrm{gr}^p H(C)

通常也寫成 E_r \Rightarrow H(C)

\mathcal{A} 為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象 C 是個上鏈複形 \cdots \to C^q \to C^{q+1} \to \cdotsd 是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 p,q,r,並可進一步化成下述形式:

E_0^{p,q} = F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q}
E_1^{p,q} = H^{p+q}(\mathrm{gr}^p C^\bullet)
E_\infty^{p,q} = \mathrm{gr}^p(H^{p+q}(C^\bullet))

雙複形的譜序列[编辑]

以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形,即一組對象 C^{p,q},及兩組微分映射 d': C^{p,q} \to C^{p+1,q}d'': C^{p,q} \to C^{p,q+1},滿足

d'^2 = d''^2 = 0
d' d'' + d'' d' = 0

對一個雙複形,可定義其全複形 (C, D)(也記為 T(C)\mathrm{Tot}(C)) 為

C^n := \bigoplus_{p+q=n} C^{p,q}
D := d' + d''

C 上有兩組過濾,分別是:

('F^p C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, i \geq p} C^{i,j}
(''F^q C)^n := \bigoplus_{i+j=n,\, j \geq q} C^{i,j}

它們給出兩個譜序列 'E_r''E_r。首先計算 'E_0, 'E_1, 'E_2 項:

'E_0^{i,j} = C^{i,j}
'E_1^{i,j} = H_{d''}^j(C^{i,\bullet})
'E_2^{i,j} = H_{d'}^i(H_{d''}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad(即:先取縱向上同調,再取橫向上同調)

同理可計算 ''E_0, ''E_1, ''E_2

''E_0^{i,j} = C^{j,i}
''E_1^{i,j} = H_{d'}^j(C^{\bullet, i})
''E_2^{i,j} = H_{d''}^i(H_{d'}^j(C^{\bullet,\bullet})) \qquad(即:先取橫向上同調,再取縱向上同調)。

這兩個譜序列通常是不同的,但隨著 r 增大,它們都收斂到 H(C),由此可以得到一些有趣的比較定理。

例子[编辑]

Tor函子的交換性[编辑]

利用譜序列,可以迅速導出Tor函子的交換性,即一自然同構:

\mathrm{Tor}_i(M,N) = \mathrm{Tor}_i(N,M)

取定平坦分解 P_\bullet \to M \to 0Q_\bullet \to N \to 0。視之為集中於正項的複形,其微分映射分別記為 d, e。考慮雙複形 C_{i,j} := P_i \otimes Q_j,其微分映射定義為 d_{i,j} := d_i \otimes \mathrm{id} + (-1)^j \mathrm{id} \otimes e_j(以使微分映射滿足反交換性)。取其譜序列,遂得到:

'E^2_{p,q} = H^I_p(H^{II}_q(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^I_p(P_\bull \otimes H^{II}_q(Q_\bull))
''E^2_{p,q} = H^{II}_q(H^I_p(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^{II}_q(Q_\bull \otimes H^I_p(P_\bull))

由於複形 P_\bullet, Q_\bullet 是平坦分解,其同調群只集中在零次項,此時其表示式為:

H^I_p(P_\bull \otimes N) = \mbox{Tor}_p(M,N)
H^{II}_q(Q_\bull \otimes M) = \mbox{Tor}_q(N,M)

'E^2_{p,q} 只在 p=0 上有非零項,而 ''E^2_{p,q} 只在 q=0 上有非零項,這保證了譜序列在第二頁退化,由此導出同構:

\mbox{Tor}_p(M,N) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_p H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))
\mbox{Tor}_q(N,M) \cong E^\infty_{p,q} = \mbox{gr}_q H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))

p=q 時,上述等式的右項同構(雖然其分次結構不同),由此得到 Tor 的交換性。

示性數[编辑]

運用譜序列時,通常會假設某些項為零,或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知,仍可從譜序列中萃取資訊,最簡單的例子是示性數:固定一個阿貝爾範疇 \mathcal{A} 及一個交換群 C,所謂示性數是一個函數 \chi: \mathrm{Ob}\mathcal{A} \to C,滿足:

  • \forall 0 \to Y \to X, \; \chi(X) = \chi(Y) + \chi(X/Y)
  • X \simeq Y \Rightarrow \chi(X)=\chi(Y)

例如:取 \mathcal{A} 為某個域 k 上的有限維向量空間範疇,則 \chi: V \mapsto \dim_k V 是一個示性數。

對任一 \mathcal{A} 上的有限複形 K^\bullet,定義

\chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(K^i)

容易證明 \chi(K^\bullet) = \sum_i (-1)^i \chi(H^i(K^\bullet))。考慮任一在 \mathcal{A} 上的收斂譜序列 (E_r^\bullet),由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調,遂得到

\chi(E_r^\bullet) = \chi(E_{r+1}^\bullet) = \cdots = \chi(E_\infty^\bullet)

然而

\chi(E^n) = \sum_p \chi(F^p E^n / F^{p+1}E^n) = \sum_p \chi(E_\infty^{p,n-p})

於是得到

\forall r, \; \sum_n (-1)^n \chi(E^n) = \chi(E_r^\bullet)


參考資料[编辑]

歷史文獻[编辑]

  • Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
  • Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
  • Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. III, IV, V. Ann. of Math. (2nd series). 1953, 57: 248––286. 

當代文獻[编辑]