误差传播

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在统计学上上,由于变量含有误差,而使函数受其影响也含有误差,称之为误差传播。阐述这种关系的定律称为误差传播定律

误差传播定律[编辑]

设有一般函数(线性函数非线性函数

Z=f(x_1,x_2,\dots,x_n)

式中x_1,x_2,\dots,x_n 为可直接观测的相互独立的未知量,z为不便于直接观测的未知量。已知x_1,x_2,\dots,x_n標準差分别为m_1,m_2,\dots,m_n ,现在要求z的標準差m_z 。已知函数z的中误差关系式为m_z^2 =k_1^2 m_1^2+k_2^2 m_2^2+\dots+ k_n^2 m_n^2(其中k_1,k_2,\dots,k_n为任意常数)。由数学分析可知,变量的误差与函数的误差之间的关系,可以近似的用函数的全微分来表达,为此对上式求全微分,并以真误差的符号“Δ”替代微分的符号“d”得 \Delta z=\frac{\partial f}{\partial x_1} \cdot \Delta x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot \Delta x_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\cdot \Delta x_n

式中\frac{\partial f}{\partial x_i} (i=1,2,,…,n)是函数对各个变量变量所取得偏导数,对上式以標準差平方代替真误差,由函数z的中误差关系式可得

m_z^2 = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \right)^2 m_1^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x_2} \right)^2  m_2^2+\dots+ \left(\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^2  m_n^2

将上式开根号可得误差传播定律的一般形式

m_z\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \right)^2 m_1^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x_2} \right)^2  m_2^2+\dots+ \left(\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^2  m_n^2}

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