误差函数

误差函数

在数学中，误差函数（也称之为高斯误差函数）是一个非基本函数（即不是初等函数），其在概率论，统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下：

$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.$

把等式的右边用泰勒级数展开，上式可以写成如下的形式：

$\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)$

对于任意复数x都成立。

互补误差函数

互补误差函数，记为 erfc，在误差函数的基础上定义：

$\mbox{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt\,.$

複誤差函數，记为w(x)，也在误差函数的基础上定义：

$w(x) = e^{-x^2}{\textrm{erfc}}(-ix).$