# 诺特定理

## 应用

• 对于物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量的守恒律；
• 对于转动的不变性给出了角动量的守恒律；
• 对于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律

## 证明

• 经典力学上，哈密顿表述中，M是一个一维流形R，代表时间而目标空间是广义位置的空间余切丛
• 场论中，M是时空流形，而目标空间是场在任何给定可取的值的集合。例如，如果有m个标量场，φ1,...,φm，则目标流形是Rm。若流形是一个实向量场，则目标流形同构R3

$S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R},$

$\mathcal{L}(\varphi,\partial_\mu\varphi,x)$

$S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}[\varphi(x),\partial_\mu\varphi(x),x].$

$\frac{\delta}{\delta \phi(x)}S[\phi]=0$

$Q\left[\int_N d^nx\mathcal{L}\right]=\int_{\partial N}ds_\mu f^\mu[\phi(x),\partial\phi,\partial\partial\phi,...]$

$Q[\mathcal{L}(x)]=\partial_\mu f^\mu(x)$

 $Q\left[\int_N d^nx\mathcal{L}\right]$ $=\int_Nd^nx\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}- \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right]Q[\phi]+ \int_{\partial N}ds_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]$ $=\int_{\partial N}ds_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi].$

$\partial_\mu\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu\right]=0.$

$J^\mu\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}Q[\phi]-f^\mu$

### 评论

$\int_{\partial N}ds_\mu J^\mu=0.$

$Q_1[\mathcal{L}]=\partial_\mu f_1^\mu$

$Q_2[\mathcal{L}]=\partial_\mu f_2^\mu$

(这个是否离壳或仅仅在壳成立无关紧要）。则，

$[Q_1,Q_2][\mathcal{L}]=Q_1[Q_2[\mathcal{L}]]-Q_2[Q_1[\mathcal{L}]]=\partial_\mu f_{12}^\mu$

$j_{12}^\mu=\left(\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right)(Q_1[Q_2[\phi]]-Q_2[Q_1[\phi]])-f_{12}^\mu.$

### 证明的一般化

$Q[\mathcal{L}]=\partial_\mu f^\mu$

(离壳或仅仅在壳都可以）。则，

$q[\epsilon][S]=\int d^dx q[\epsilon][\mathcal{L}]$
$=\int d^dx \left(\frac{\partial}{\partial \phi}\mathcal{L}\right) \epsilon Q[\phi]+ \left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \phi)}\mathcal{L}\right]\partial_\mu(\epsilon Q[\phi])$
$=\int d^dx \epsilon \partial_\mu \Bigg\{f^\mu-\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]\Bigg\}$

$\partial_\mu\left[f^\mu-\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]-2\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \phi)}\right]\partial_\nu Q[\phi]+\partial_\nu\left[\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu \partial_\nu \phi)}\mathcal{L}\right] Q[\phi]\right]-\,\cdots\right]=0.$

## 例子

### 例1：能量守恒

 $S[x]\,$ $=\int dt \mathcal{L}[x(t),\dot{x}(t)]$ $=\int dt \left\{\frac{m}{2}g_{ij}\dot{x}^i(t)\dot{x}^j(t)-V[x(t)]\right\}$

（也即，在一个弯曲黎曼空间（但不是弯曲时空）中运动的一个牛顿质点，该空间度量为g，质点势能为V）。

Q为时间平移的生成元。换句话说，$Q[x(t)]=\dot{x}(t)$。 [量子场理论学家经常在方程右边加上一个因子i]。 注意

$Q[\mathcal{L}]=m g_{ij}\dot{x}^i\ddot{x}^j-\frac{\partial}{\partial x^i}V(x)\dot{x}^i.$

$\frac{d}{dt}\left[\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x)\right]$

$f=\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x).$

 $j\,$ $=\left(\frac{\partial}{\partial \dot{x}^i}\mathcal{L}\right)Q[x]-f$ $=m g_{ij}\dot{x}^j\dot{x}^i-\left[\frac{m}{2} g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j-V(x)\right]$ $=\frac{m}{2}g_{ij}\dot{x}^i\dot{x}^j+V(x).$

$\sum_i \left (\frac{\partial}{\partial \dot{x}^i}\mathcal{L}\right )\dot{x^i}-\mathcal{L}$

（称为哈密顿量）是守恒的。

### 例2：线性动量守恒

 $S[\vec{x}]\,$ $=\int dt \mathcal{L}[\vec{x}(t),\dot{\vec{x}}(t)]$ $=\int dt \left [\sum^N_{\alpha=1} \frac{m_\alpha}{2}(\dot{\vec{x}}_\alpha)^2 -\sum_{\alpha<\beta} V_{\alpha\beta}(\vec{x}_\beta-\vec{x}_\alpha)\right]$

$Q_i[x^j_\alpha(t)]= \delta^j_i.$

$Q_i[\mathcal{L}]=0$

$\vec{f}=0.$

$\vec{J_i}=\sum_\alpha \left(\frac{\partial}{\partial \dot{\vec{x}}_\alpha}\mathcal{L}\right)\cdot\vec{Q}[\vec{x}_\alpha]-\vec{f}$
$=\sum_\alpha m_\alpha \dot{\vec{x}}_\alpha^i$

### 例3

 $S[\phi]\,$ $=\int d^4x \mathcal{L}[\phi (x),\partial_\mu \phi (x)]$ $=\int d^4x \left( \frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\lambda \phi^4\right )$

Q为时空缩放的生成元。换句话说，

$Q[\phi(x)]=x^\mu\partial_\mu \phi(x)+\phi(x).$

$Q[\mathcal{L}]=\partial^\mu\phi\left(\partial_\mu\phi+x^\nu\partial_\mu\partial_\nu\phi+\partial_\mu\phi\right)-4\lambda\phi^3\left(x^\mu\partial_\mu\phi+\phi\right).$

$\partial_\mu\left[\frac{1}{2}x^\mu\partial^\nu\phi\partial_\nu\phi-\lambda x^\mu\phi^4\right]=\partial_\mu\left(x^\mu\mathcal{L}\right)$

（其中我们进行了空指标的变换）所以我们置

$f^\mu=x^\mu\mathcal{L}.\,$

$j^\mu=\left[\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu\phi)}\mathcal{L}\right]Q[\phi]-f^\mu$
$=\partial^\mu\phi\left(x^\nu\partial_\nu\phi+\phi\right)-x^\mu\left(\frac{1}{2}\partial^\nu\phi\partial_\nu\phi-\lambda\phi^4\right).$

（另外：如果要找出该方程的沃德-高桥版本，你会遇到异常问题。）