调和测度

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數學中,調和測度調和函數理論中出現的一個概念。给定了一个解析函数在一个区域 D 边界上的,能用调和测度去估计函数在区域内部的模。在一个非常相关的领域,一个伊藤扩散 X 的调和测度描绘了 X 撞击 D 边界的分布。

定義[编辑]

Dn-欧几里得空间中一个有界开区域n ≥ 2,记 ∂DD 的边界。任何连续函数 f : ∂D → R 惟一确定一个调和函数 Hf 满足狄利克雷问题

\begin{cases} - \Delta H_{f} (x) = 0, & x \in D; \\ H_{f} (x) = f(x), & x \in \partial D. \end{cases}

如果点 x ∈ D 取定,Hf(x) 确定了 ∂D 上的一个非负拉东测度 ω(xD):

H_{f} (x) = \int_{\partial D} f(y) \, \mathrm{d} \omega(x, D) (y).

这个测度 ω(xD) 称为关于区域 D 和点 x调和测度

性質[编辑]

  • 对任何 ∂D 中的波萊爾集 E ,调和测度 ω(xD)(E) 等于Direchlet 问题中边界函数取 E示性函数的解在 x 点的取值。故ω(xD)(E) 是 x 的调和函数。
  • 对取定的 DE ⊆ ∂Dω(xD)(E) 是x ∈ D 的一个调和函数,且
0 \leq \omega(x, D)(E) \leq 1;
1 - \omega(x, D)(E) = \omega(x, D)(\partial D \setminus E);
从而,对任何 xDω(xD) 是 ∂D 上的概率测度
  • 只要在 D 中有一点 x 满足 ω(xD)(E) = 0 ,那么根据极小值原理ω(xD)(E) 对任何 x 恒等于 0,在这种情况下称 E 是一个零调和测度集。进一步,如果 Rn紧集 K 关于某个区域 D 的调和测度为 0,那么 K 关于任何区域的调和测度都是 0,这种情况当且仅当 K调和体积为 0。

举例和应用[编辑]

要计算出一个一般区域的调和测度是困难的,但是对于平面 R2 上一些常见的区域的边界上某些子集,我们可以直接写出调和测度。

  • D 为圆域,E ⊆ ∂D 是长为 的圆弧,设 θ(x) 为点 xD 对圆弧 E视角,则:
\omega(x,D)(E) = \frac{\theta(x)-\alpha}{\pi} .
  • D 为以原点为中心内外半径rR圆环域,E1E2 分别为内外边界,则对所有 xD 有:
\omega(x,D)(E_1)=\frac{ \log R-\log| x|}{\log R-\log r} ;
\omega(x,D)(E_2)=\frac{\log |x|-\log r}{\log R-\log r} .

若已知调和函数的模在边界上的估计,利用调和测度就可得到内部模的一个估计。譬如,如果 ∂D 分为 E1E2 两部分(多部分一样),设调和函数 f 的模长在 E1E2 上分别有界 M1M2,那么 fD 内部 x 点有界:

|f(x)| \leq \omega(x,D)(E_1) M_1 + \omega(x,D)(E_2) M_2 \; .

DE1E2 为第二个例子,取 f(x) = |log(h(x))|,这里 h(x) 是环域上一个全纯函数,我们便可得到阿达马三圆定理

擴散的調和測度[编辑]

考虑始于区域 D 内部某一点 x 的一个取 Rn 值的 Itō 扩散 X,具有规律 Px。假设我们要知道 X 逃逸出 D 的点分布。譬如,实数轴上开始于 0 点,位于区间 (−1, +1) 的标准布朗运动,在 −1 的概率是 1/2,在 +1 的概率是 1/2,所以 Bτ(−1, +1) 是集合{−1, +1} 上的一致分布

一般的,如果 G 紧嵌入 Rn,那么 XG 的 ∂G调和测度(或撞击分布)为测度 μGx,定义为:

\mu_{G}^{x} (F) = \mathbf{P}^{x} \big[ X_{\tau_{G}} \in F \big]

x ∈ GF ⊆ ∂G

回到首先布朗运动的例子,我们可以证明如果 B 是一个 Rn 内开始于 x ∈ Rn 的布朗运动,且 D ⊂ Rn 是一个以 x 为中心的开球体,那么 B 在 ∂D 的调和测度在 Dx 的所有旋转下是不变的,从而调和测度等于 ∂D 上的曲面测度

參考文獻[编辑]