调和级数

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无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数

调和级数(英语:Harmonic series)是一个发散的无穷级数,表达式为:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\,\!

这个级数名字源于泛音泛音列(泛音列与调和级数英文同为harmonic series):一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。调和序列中,第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数;而“调和平均数”一词同样地也是源自音乐。

历史[编辑]

早在14世纪,尼克尔·奥里斯姆已经证明调和級數发散,但知道的人不多。17世纪时,皮耶特罗·曼戈里英语Pietro Mengoli约翰·伯努利雅各布·伯努利完成了全部證明工作。

调和序列历来很受建筑师重视;这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时,运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例,并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。[1]

佯谬[编辑]

只要有足够多的骨牌,最顶层骨牌离最底层的距离就可以无穷远。可以发现,图中骨牌排列的形状就像顺时针旋转90°的对数函数,也即函数y=1/x不定积分

对刚接触这个级数的人而言,调和级数是违反直觉的——尽管随着n不断增大,1/n无限接近0,但它却是一个发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一个例子。[2]假设一条蠕虫沿着一条1米长的橡皮筋爬行,而橡皮筋每分钟之后均匀伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋,蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米,那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗?与直觉相反,答案是肯定的:n分钟之后,蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为:

\frac{1}{100}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}.

由于调和级数发散(证明见本条目“发散性”一节),即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大,所以这个比值也必定在某个时刻超过1;也就是说,蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而,在这个时刻的n的值极其之大,约为e100,超过1040(1后面有40个零)。这也说明了,尽管调和级数确确实实是发散的,但它发散的速度非常慢。

另一个例子:假设你有一堆完全相同的骨牌,可以肯定的是,你可以把它们叠在一起,并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度,最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是,只要你的骨牌足够多,你就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。[2][3]一个较简单的证明如下:

设每一块骨牌的长度为l_0。再设一叠n个平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为d_n;在只有1个骨牌时,质心就在骨牌的几何中心(假设骨牌密度均匀),即d_1\,=\,\frac{l_0}{2}。对于一叠刚好平衡的骨牌(即对于任意一层骨牌,在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘),新骨牌不置于其上方(否则使得质心往右偏移而倒塌),而是垫在整叠骨牌之下,并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端(则原来的骨牌不会倒塌);设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为l_n,则有:d_n+l_n=l_0。根据质心的坐标系计算公式,可得到新的骨牌叠的质心为:

d_{n+1}\,=\,\frac{(d_n+l_n)n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot n+\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,\frac{l_0\cdot (n+1)-\frac{l_0}{2}}{n+1}\,=\,l_0-
\frac{\frac{l_0}{2}}{n+1}

l_{n+1} = l_0 - d_{n+1} = \frac{\frac{l_0}{2}}{n+1},即l_n = \frac{l_0}{2} \cdot \frac{1}{n}

也就是说,理想的摆法是:最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的1/2,第二、三层间水平距离是骨牌长度的1/4,第三、四层之间水平距离是骨牌长度的1/6……依此类推。最终,最顶层和最底层骨牌的水平距离是:

l_{\mathrm{total}} = \frac{l_0}{2} \cdot \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}

因为调和级数发散,所以当骨牌数目n趋于无穷大时,水平距离也趋于无穷大。

发散性[编辑]

比较审敛法[编辑]

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =
1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.
 \quad\ \ge \sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil}\,\!
 = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.\,\!
 = 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots \,\!\;=\;\; \infty.

因此该级数发散。

积分判别法[编辑]

Integral Test.svg

通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中正方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1 / n个单位(换句话说,每个长方形的面积都是1 / n),所以所有长方形的总面积就是调和级数的和:


\begin{array}{c}
\text{area of}\\
\text{rectangles}
\end{array}
= 1 \,+\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \cdots.

而曲线y = 1 / x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出:


\begin{array}{c}
\text{area under}\\
\text{curve}
\end{array}
= \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx \;=\; \infty.

由于这一部分面积包含于(换句话说,小于)长方形总面积,长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确的说,这证明了:


\sum_{n=1}^k \, \frac{1}{n} \;>\; \int_1^{k+1} \frac{1}{x}\,dx \;=\; \ln(k+1).

这个方法的拓展即积分判别法

反证法[编辑]

假设调和级数收敛 , 则:

\lim _{n \to \infty} S_{2n}-S_n=0

但与 S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2} 矛盾,故假设不真,即调和级数发散。

发散率[编辑]

调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说,调和序列前1043项的和还不足100。[4]这是因为调和数列的部分和呈对数增长。特别地,

\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k

其中\gamma欧拉-马歇罗尼常数,而\epsilon_k约等于\frac{1}{2k},并且随着k 趋于正无穷而趋于0。这个结果由欧拉给出。

部分和[编辑]

调和级数的第n个部分和为:

H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},\!

也叫作第n个调和数

第n个调和数与n的自然对数的差值(即\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} - \ln n)收敛于欧拉-马歇罗尼常数

两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。

除了n=1时以外,没有任何一个调和数是整数。[5]

相关级数[编辑]

交错调和级数[编辑]

此图显示,交错调和级数的前14个部分和(图中黑色线段)收敛于2的自然对数(红色直线)。

如下级数:


\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots

被称作交错调和级数。这个级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地,这个级数的和等于2的自然对数

1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

这个公式是墨卡托级数(自然对数的泰勒级数形式)的一个特例。

反正切函数的泰勒展开式可以导出一个相关级数:


\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.

这个级数也被称作π的莱布尼茨公式

广义调和级数[编辑]

广义调和级数是指有如下形式的级数:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{an+b}.\!

其中 a \ne 0b 为实数。

比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。 [6]

P-级数[编辑]

调和级数广义化的其中一个结果是p-级数,定义如下:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p},\!

其中P是任意正实数。当p=1,p级数即调和级数。由积分判别法柯西并项判别法en:Cauchy condensation test(英文))可知p-级数在p>1时收敛(此时级数又叫过调和级数(over-harmonic series)),而在p ≤ 1时发散。 当p>1时,p-级数的和即ζ(p),也就是黎曼ζ函数在p的值。

φ-级数[编辑]

对一个凸实值函数φ,若满足以下条件:

\limsup_{u\to 0^{+}}\frac{\varphi(\frac{u}{2})}{\varphi(u)}< \frac{1}{2}

则级数n≥1 φ(n−1)收敛。

随机调和级数[编辑]

随机调和级数定义如下:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},\!

其中sn独立的、恒等分布的随机变量,取值范围为+1和-1,取这两个值的概率都是1/2。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质,[7][8]并发现这个级数收敛的概率为1,并发现这个随机变量有着一些有趣的性质。特别地,这个随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为0.124999999999999999999999999999999999999999764…,与1/8只差了不到10−42。施姆兰的论文解释了为什么这个概率如此接近、但却不是1/8。这个概率的精确值是由无穷余弦乘积积分C_2除以π而给出的。[9]

贫化调和级数[编辑]

贫化调和级数是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这个级数是收敛的,和小于80。[10]实际上,将包含任意数字串的项从调和级数中去除后,所剩级数都收敛。

参见[编辑]

参考[编辑]

  1. ^ George L. Hersey, Architecture and Geometry in the Age of the Baroque, p 11-12 and p37-51.
  2. ^ 2.0 2.1 Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren, Concrete Mathematics. 2nd, Addison-Wesley. 1989:  258–264, ISBN 978-0-201-55802-9 
  3. ^ Sharp, R.T., Problem 52: Overhanging dominoes, Pi Mu Epsilon Journal. 1954: 411–412 
  4. ^ Sequence A082912 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  5. ^ http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
  6. ^ Art of Problem Solving: "General Harmonic Series"
  7. ^ "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
  8. ^ Schmuland's preprint of Random Harmonic Series
  9. ^ Weisstein, Eric W. “Infinite Cosine Product Integral.” From MathWorld – a Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InfiniteCosineProductIntegral.html accessed 11/14/2010
  10. ^ Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72

外部链接[编辑]