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谢费尔竖线

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谢费尔竖线英语Sheffer stroke),得名于Henry M. Sheffer英语Henry M. Sheffer[1],写为“|”(見豎線)或“↑”,指示等价于合取运算的否定逻辑运算。普通语言表达为“不全是即真”(Not AND,因此也常縮寫為NAND),也就是说,A | B 假,当且仅当 A 与 B 都真时才成立。它是可用来表达与命题逻辑有关的所有布尔函数自足算子之一。在布尔代数数字电子中有叫做「NAND」的等价运算。

定义[编辑]

Sheffer竖线“|”等价于逻辑与的否定:

 A | B = \neg (A \wedge B) = \overline{AB}

下列真值表在语义上定义了“|”:

A B A | B
T T F
T F T
F T T
F F T

其他逻辑算子可以依据"|"来定义,比如:

 \neg A = A | A,
 A \wedge B = (A | B) | (A | B),
 A \vee B = (A | A) | (B | B),
 A \rightarrow B = A | (B | B) = A | (A | B).

历史[编辑]

Henry M. Sheffer 证明了命题逻辑的所有常用算子(蕴涵等等)都可以用它来表达(Sheffer 1913)。查尔斯·皮尔士在30多年前(1880年)就发现了这个事实。皮尔士还发现所有布尔算子都可以用NOR算子来表达。

基于Sheffer竖线的形式系统[编辑]

下面是完全基于Sheffer竖线的形式系统的一个例子,它有着命题逻辑的表达能力。

符号[编辑]

A B C D E F G '
( | )

Sheffer 竖线符合交换律不符合结合律。所以包括Sheffer竖线的所有形式系统必须也包含某种表示组合的方式。我们将为此采用 '(' 和 ')'。

文法[编辑]

字母 A,B,C,D,E,F和G是原子。

任何字母加撇(prime)一次或多次还是一个原子(比如 A', B′′, C′′′, D′′′′ 都是原子)。

构造规则I:原子是合式公式(wff)。

构造规则II:如果X和Y是wff,则(X|Y)是wff。

闭包规则:不能使用前两个构造规则构造的任何公式都不是wff。

字母U,V,X和Y是表示wff的元变量。

确定一个公式是否是合式公式的一个判定过程如下: 反向应用构造规则"解构"这个公式,把这个公式分解为更小的子公式。接着对每个子公式重复这个递归的解构过程。最终这个公式被简约到它的原子,如果某个子公式不能被简约,则这个公式不是 wff。

公理[编辑]

下列wff是公理模式,即在把所有元变量替代为wff后变为公理。

THEN-1:(U|(U|(V|(U|U))))

推理规则[编辑]

等价代换。设wff X包含子公式U的一个或多个实例。如果U=V,则把X中U的一个或多个实例替换为V不改变X的真值。特别是,如果X=Y是个定理,则在V对U的任何代换之后仍是这种情况。

交换律: (X|Y) = (Y|X)

对偶律: 如果形如 X 和 (X|X) 的字符串都出现在一个定理中,则如果对换这两个字符串在这个定理中的所有出现,则结果也是个定理。

双重否定律: ((X|X)|(X|X)) = X

模仿律: (U|(X|X)) = (U|(U|X))

THEN-3: (U|(U|(V|(V|X)))) = (V|(V|(U|(U|X))))

MP-1: U, (U|(V|X)) \vdash V

MP-2: U, (U|(V|X)) \vdash X

注意。公式 (U|(V|X)) 有释义U→V∧X。肯定前件是MP-1和MP-2在V和X同一的时候的特殊情况。

简化[编辑]

因为这个逻辑的唯一连结词是"|",符号"|"可以一起都丢弃,只留下圆括号用来组合字母。一对圆括号必须总是包含一对 wff。使用这种简单表示法的例子有

(A(A(B(B((AB)(AB)))))),
(A(A((BB)(AA)))).

明显类似于LISP的语法。

表示法可以进一步简化,通过让

(U) := (UU)
((U)) \equiv U

对于任何 U。这种简化导致了需要改变某些规则: (1) 多于两个字母允许在圆括号内。(2) 在圆括号内的字母或 wff 允许交换。(3) 在同一组圆括号内的重复字母或 wff 可以除去。这个结果是 Peirce 的存在图的相应版本。

引用[编辑]

  • 查尔斯·桑德斯·皮尔士, 1880. 'A Boolean Algebra with One Constant'. In Hartshorne, C, and Weiss, P., eds., (1931-35) Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vol. 4: 12-20. Harvard University Press.
  • H. M. Sheffer, 1913. "A set of five independent postulates for Boolean algebras, with application to logical constants," Transactions of the American Mathematical Society 14: 481-488.
  1. ^ 张申府《所思》:“自余后起数理名家数美人蛇斐(Dr.H.M. Sheffer)最有成就,也久不见其新著。……友人俞大维博士,昔在美学于蛇斐。前岁在德著名的《数学纪录》杂志,曾一见其新著,精进不息,必是足为中国光的。

参见[编辑]