貝蒂數

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代數拓撲學中,拓撲空間貝蒂數 b_0, b_1, b_2, \ldots 是一族重要的不變量,取值為非負整數或無窮大。直觀地看,b_0連通成份之個數,b_1 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的 b_k 可藉同調群定義。

「貝蒂數」一詞首先由龐加萊使用,以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。

定義[编辑]

空間 X 的第 k 個貝蒂數(k 為非負整數)定義為

b_k = \dim H_k(X; \mathbb{Q})

上式的同調群可以任意為係數。

例子[编辑]

  • 圓環 S^1 的貝蒂數依次為 1,1,0,0,0, \ldots
  • 二維環面的貝蒂數依次為 1,2,1,0,0,0,\ldots
  • 三維環面的貝蒂數依次為 1,3,3,1,0,0,0,\ldots
  • 一般而言,n 維環面的貝蒂數由二項式係數給出,此命題可透過下節敘述的性質證明。
  • 無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數,例如無窮維複射影空間 \mathbb{P}^\infty 的貝蒂數依次為 1,0,1,0,1,\ldots(週期為二)。

性質[编辑]

閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的「洞」數。環面b_1 = 2;一般而言,閉曲面的 b_1 等於「洞」或「把手」個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其 b_1 完全分類。

有限單純複形CW複形的貝蒂數有限。當 k 大於複形維度時,b_k=0

對於有限 CW 複形,定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函數

P_X(z) := \sum_k b_k z^k

對於任意 X, Y,有

P_{X\times Y}(z) = P_X(z) P_Y(z) .

對於 n-維可定向閉流形 X龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性

b_k(X) = b_{n-k}(X)

貝蒂數與微分形式[编辑]

微分幾何微分拓撲中,所論的空間 X 通常是閉流形,此時拓撲不變量 b_k 可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之,考慮複形

0 \to A^0(X) \stackrel{d}{\to} A^1(X) \stackrel{d}{\to} A^2(X) \to \cdots

其中 A^k(X)k 次微分形式構成的向量空間,d外微分。則

b_k = \dim \dfrac{\mathrm{Ker}(d: A^k \to A^{k+1})}{\mathrm{Im}(d: A^{k-1} \to A^k)}

這是德拉姆上同調理論的簡單推論。

德拉姆上同調的不便之處,在於它考慮的是微分形式的等價類,其間可差一個 \mathrm{Im}(d: A^{k-1} \to A^k) 之元素。設流形 X 具有黎曼度量,則可以定義微分形式的「長度」。我們若嘗試以變分法在等價類中找最短元素,透過形式計算可知存在唯一最短元素 \omega \in A^k(X),且為調和形式\Delta \omega = 0,在此拉普拉斯算子 \Delta 依賴於流形的度量,在局部座標系下可表為橢圓偏微分算子。這套想法催生的霍奇理論在複幾何中扮演關鍵角色。

文獻[编辑]

  • F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
  • J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).