費馬原理

皮埃爾·德·費馬

費馬原理（Fermat principle）最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为平稳的路径传播。所谓的平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

費馬原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律：

1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射， 入射角必须等于出射角。
3. 光的折射定律（斯涅尔定律）。

最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光線傳播时間都相等。

概述

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子反射，最終抵達點P。

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。

• 平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。
• 半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。
• 半圓形鏡子：其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
• 如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

光的反射

平面反射

光在平面上的反射

平面反射的光程

光从P点出发射向x点，反射到Q点。

P 点到 x点的距离 $d1= \sqrt{x^2+a^2}$

Q 点 到 x 点的距离 $d2= \sqrt{b^2+(l-x)^2}$

從點P到點Q的光程 D 為

$D=\sqrt{x^2 + a^2}+ \sqrt{b^2 + (l - x)^2}$ 。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程 $D$ 對 $x$ 的導數，令其為零：

$D'= \frac{ x}{\sqrt{x^2+a^2}}$$+\frac{-l+x}{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}=0$ 。

但其中

$\frac{ x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\sin\theta_1$

$-\frac{l-x}{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}=-\sin\theta_2$ 。

即

$\sin\theta_1 -\sin\theta_2 =0$

$\theta_1 =\theta_2$

这就是反射定律

设l =30

图示反射光程随 X 的变化，当x= 15 时，显然光程最短。

半球面反射

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子反射，最終抵達點P。

R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点，光程最长=2.82R

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P

光程$D= \sqrt{y^2+(R+x)^2}+\sqrt{y^2+(-x+R)^2}$

因$y^2=R^2-x^2$;

所以

$D=\sqrt{2R^2+2xR}+\sqrt{-2xR+2R^2}$

根据费马原理， D'=0

$D'=\frac{R}{\sqrt{2R^2+2xR}}-\frac{R}{\sqrt{-2xR+2R^2}}=0$

解之， 得 $x=0$，代入D得到：

光程$D=2\sqrt{2}R$，乃是一个最大值=2.8R；（最小值光程是从直径一端到Q另一端P，光程=2R）

光的折射

光線從介質１的點Q，在點Ｏ傳播進入介質２，發生折射，最後抵達介質２的點P。

如右圖所示，假設，介質１、介質２的折射率分別為 $n_1$ 、$n_2$ ，光線從介質１在點Ｏ傳播進入介質２，則司乃耳定律以方程式表達為

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ ；

其中，$\theta_1$ 為入射角，$\theta_2$ 為折射角。

從費馬原理，可以推導出司乃耳定律。通過設定光程對於時間的導數為零，可以找到「平穩路徑」，這就是光線傳播的路徑。光線在介質１與介質２的速度分別為

$v_1=c/n_1$ 、

$v_2=c/n_2$ ；

其中，$c$ 是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率 $n_1$ 和 $n_2$ 都大於 $1$ 。

從點Q到點P的傳播時間 $T$ 為

$T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2}$ 。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間 $T$ 對 $x$ 的導數，設定其為零：

$\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0$ 。

其中 $\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} =\sin\theta_1$

$\frac{ - (l - x)}{\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=\sin\theta_2$

因此得到傳播速度與折射角的關係式：

$\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0$ 。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ 。

运动学

伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

參閱

• Adequality
• 费马
• 哈密顿原理
• 最小作用量原理
• 路径积分表述
• 惠更斯－菲涅耳原理