費馬原理

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皮埃爾·德·費馬

費馬原理(Fermat principle)最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出,又名「最短時間原理」:光線傳播的路徑是需時最少的路徑[1]

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」:光沿着所需时间为平稳的路径传播。所谓的平稳是数学上的微分概念,可以理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

費馬原理是几何光学的基本定理。用微分变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律:

  1. 光线在真空中的直线传播。
  2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射, 入射角必须等于出射角。
  3. 光的折射定律斯涅尔定律)。

最短光时线可以有多条,例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B,可以有无数条路径,所有这些路径的光線傳播时間都相等。

概述[编辑]

光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形鏡子反射,最終抵達點P。
光線從點Q傳播至點O時,會被混合形狀鏡子反射,最終抵達點P。
光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形或混合形鏡子反射,最終抵達點P。

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況,光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值[2]

  • 平面鏡:任意兩點的反射路徑光程是最小值。
  • 半橢圓形鏡子:其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的,光程都一樣,是最大值,也是最小值。
  • 半圓形鏡子:其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
  • 如最右圖所示,對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子,同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

光的反射[编辑]

平面反射[编辑]

光在平面上的反射
平面反射的光程

光从P点出发射向x点,反射到Q点。

P 点到 x点的距离 d1= \sqrt{x^2+a^2}

Q 点 到 x 点的距离 d2= \sqrt{b^2+(l-x)^2}

從點P到點Q的光程 D 為

D=\sqrt{x^2 + a^2}+ \sqrt{b^2 + (l - x)^2}

根據費馬原理,光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程 Dx 的導數,令其為零:

D'= \frac{  x}{\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{-l+x}{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}=0

但其中

 \frac{  x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\sin\theta_1


-\frac{l-x}{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}=-\sin\theta_2

\sin\theta_1 -\sin\theta_2 =0
\theta_1 =\theta_2

这就是反射定律

设l =30

图示反射光程随 X 的变化,当x= 15 时,显然光程最短。

半球面反射[编辑]

光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形鏡子反射,最終抵達點P。
R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点,光程最长=2.82R

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面,反射到直径另一端P

光程D= \sqrt{y^2+(R+x)^2}+\sqrt{y^2+(-x+R)^2}

y^2=R^2-x^2;

所以

D=\sqrt{2R^2+2xR}+\sqrt{-2xR+2R^2}

根据费马原理, D'=0

D'=\frac{R}{\sqrt{2R^2+2xR}}-\frac{R}{\sqrt{-2xR+2R^2}}=0

解之, 得 x=0,代入D得到:

光程D=2\sqrt{2}R,乃是一个最大值=2.8R;(最小值光程是从直径一端到Q另一端P,光程=2R)

光的折射[编辑]

光線從介質1的點Q,在點O傳播進入介質2,發生折射,最後抵達介質2的點P。

如右圖所示,假設,介質1、介質2的折射率分別為 n_1n_2 ,光線從介質1在點O傳播進入介質2,則司乃耳定律以方程式表達為

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

其中,\theta_1 為入射角,\theta_2 為折射角。

從費馬原理,可以推導出司乃耳定律。通過設定光程對於時間的導數為零,可以找到「平穩路徑」,這就是光線傳播的路徑。光線在介質1與介質2的速度分別為

v_1=c/n_1
v_2=c/n_2

其中,c真空光速。

由於介質會減緩光線的速度,折射率 n_1n_2 都大於 1

從點Q到點P的傳播時間 T

T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2}

根據費馬原理,光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑,取傳播時間 Tx 的導數,設定其為零:

\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0

其中 \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} =\sin\theta_1

\frac{ - (l - x)}{\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=\sin\theta_2

因此得到傳播速度與折射角的關係式:

\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0

將傳播速度與折射率的關係式代入,就會得到司乃耳定律:

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

运动学[编辑]

伯努利家族约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。[3]他将小球运动类比作光线的运动,从而得出最速降线为摆线


參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.. 1988:  pp. 255ff, 274, 345-346, ISBN 0-486-65632-2 
  2. ^ Hecht, Eugene, Optics. 4th, United States of America: Addison Wesley. 2002:  pp. 106-111, 141, ISBN 0-8053-8566-5 (英文) 
  3. ^ http://www.guokr.com/article/22018/ 复活节闲扯:一场激动人心的数学公开挑战赛,果壳网。