费马大定理

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费马大定理，也称費馬最後定理（Le dernier théorème de Fermat），乃下述定理：

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程

xn + yn = zn.
的整数解都是平凡解，即
当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)
当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)

以上陳述由17世纪法国数学家费马（Pierre de Fermat）提出，英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）給出了完全證明，才稱為費馬大定理。在完全證明於1995年出版之前，該陳述只能稱為费马猜想，這個猜想最初出現費馬的頁邊筆記中。儘管費馬同時表明他己找到一個絕妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成了定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和赫克代數等。這也令人懷疑[來源請求]當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得了2005年度邵逸夫獎。

目录

[编辑] 歷史

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

“ 将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下[1]。 ”

畢竟費馬沒有寫下证明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。

對很多不同的n，費馬定理早被證明了。但數學家對一般情況在首二百年內仍一籌莫展。

1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世後一百年內，第一个证明该定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的「證明」。在一戰之後，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。

1983年，Gerd Faltings證明了Mordell猜测（Faltings' theorem），從而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互質的a,b,c使得an + bn = cn。

1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想（Epsilon conjecture）”：若存在a,b,c使得an + bn = cn，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線

y2 = x(x - an)(x + bn)

會是谷山-志村猜想的一個反例。Frey的猜想隨即被Kenneth Ribet證實。此猜想顯示了費馬大定理与橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995年，懷爾斯和泰勒在一特例範圍内證明了谷山志村猜想，Frey的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明了費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈了他的證明，並瞬即成為世界頭條。但在審批證明的過程中，專家發現了一個極嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒然後用了近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部份的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。

[编辑] 年表

1770年，欧拉证明n=3；[2]

[编辑] 證明

費馬大定理的證明涉及好幾個近代的數學分支，包括代數數論中的橢圓曲線和模形式，以及群論中的伽罗瓦理論。

[编辑] 参见

[编辑] 參考資料

  1. ^ 拉丁文原文: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
  2. ^ http://www.usacn.com/bmx/bmx028/nm02806.htm
  • Fermat's Enigma (previously published under the title Fermat's Last Theorem), by Simon Singh; Bantam Books; ISBN 0-8027-1331-9 (hardcover, September 1998)

[编辑] 外部連結

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