杨辉三角形

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杨辉三角形，又称賈憲三角形、帕斯卡三角形，是二项式係數在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。

$n$次的二项式系数对应杨辉三角形的$n+1$行。

例如在$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$中，$2$次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数1 2 1。

性質

每個數是它左上方和右上方的數的和

1. 楊輝三角以正整數構成，數字左右对称，每行由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
2. 第$n$行的数字个数为$n$个。
3. 第$n$行的第$k$個數字為組合數$C_n^{k-1}$。
4. 第$n$行数字和为$2^{n-1}$。
5. 除每行最左側與最右側的數字以外，每个数字等于它的左上方與右上方两个数字之和（也就是說，第$n$行第$k$個數字等於第$n-1$行的第$k-1$個數字與第$k$個數字的和）。這是因为有組合恒等式：$C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}$。可用此性质写出整个楊輝三角形。

歷史

杨辉繪畫的「古法七乘方圖」

歷史上有關這個三角形的最早記載在古印度。印度數學家賓伽羅在其梵語詩集（約450年）中，提到這個「須彌山之樓梯」。他還指出了斐波那契數列和這個三角形的關係。

波斯數學家Karaji和天文學家兼詩人Omar Khayyám在10世紀都發現了這個三角形，而且Karaji還知道可以借助這個三角形找$n$次根，和它跟二项式的關係。在伊朗，這個三角形稱為「Khayyám三角形」。

13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，並繪畫了「古法七椉方圖」。故此，楊輝三角又被稱為「賈憲三角」。

意大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞。

布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些概率論上的問題，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亞伯拉罕·棣莫弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：

• 賓伽羅 印度 450 梵語詩集
• Karaji 和 Omar Khayyám 波斯 10世紀
• 賈憲 中國北宋 11世纪 《释锁算术》
• 杨辉 中國南宋 1261《详解九章算法》记载之功
• 朱世杰 中國元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
• 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
• 阿皮亚纳斯 德国 1527
• 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
• 薛贝尔 法国 1545
• B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

一個數在杨辉三角出現的次數

由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

• 除了1之外，所有正整數都出現有限次。
• 只有2出現剛好一次。
• 6,20,70等出現三次。
• 出現兩次和四次的數很多。
• 還未能找到出現剛好五次的數。
• 120,210,1540等出現剛好六次。（OEIS:A098565）
  • 因為丟番圖方程
    ${n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2},$
    有無窮個解，所以出現至少六次的數有無窮個多。
  • 其解答，是

$n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,\,$
$k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,\,$

• • 其中$F_n$表示第$n$個斐波那契數（$F_1 = F_2 = 1$）。
• 3003是第一個出現八次的數。

外部連結

• 巴斯卡三角形