賦值

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代数中,赋值元素的(多少)或元素重复度一个度量。推广到交换代数,就是对复分析极点零点重复度度量,推广到代数数论中的代数整数整性的度量,在代数几何中也有类似概念,一个域与它的赋值被称为赋值域

定義[编辑]

一個K上取值在有序交換群Γ的賦值是從K^*到Γ的映射v,滿足下述性質:

  • v(xy) = v(x)+v(y)(即:v是群同態)
  • x+y \neq 0 \Rightarrow v(x+y) \geq \mathrm{max}(v(x),v(y))

Γ稱作v值群

兩個賦值v_i: K^* \rightarrow \Gamma_i \; (i=1,2)被稱作等價的,若且唯若存在有序交換群的同構\phi: \Gamma_1 \rightarrow \Gamma_2使得v_2 = \phi \circ v_1

為了操作上的便利,我們通常會將v的值域擴至\Gamma \cup \{\infty\},並設v(0)=\infty

p進賦值[编辑]

p為正質數。對於所有非有理數,存在一且唯一一個整數n使得 x = \frac{u}{v} p^n ,其中u,v均非p的倍數。p進賦值就是函數 v_p: x \to n。它給出一個p進絕對值 \vert\cdot\vert _p:\,\mathbb{Q} \to \mathbb{R},定義為

 \vert x \vert _p = 
  \begin{cases}
     0 \\
     p^{-v_p(x)} \\
  \end{cases}
x=0
x \ne 0

p進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是 \Z

例子[编辑]

參見[编辑]

参考文献[编辑]

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
  • Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II. 2nd, New York: W. H. Freeman. 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
  • Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics, 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag. 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8 

扩展阅读[编辑]