賦值

在數學上，一個域 $K$ 上取值在有序交換群Γ的賦值是從 $K^*$ 到Γ的映射 $v$ ，滿足下述性質：

$v(xy) = v(x)+v(y)$ （即： $v$ 是群同態）
$x+y \neq 0 \Rightarrow v(x+y) \geq \mathrm{max}(v(x),v(y))$

Γ稱作 $v$ 的值群。

兩個賦值 $v_i: K^* \rightarrow \Gamma_i \; (i=1,2)$ 被稱作等價的，若且唯若存在有序交換群的同構 $\phi: \Gamma_1 \rightarrow \Gamma_2$ 使得 $v_2 = \phi \circ v_1$ 。

為了操作上的便利，我們通常會將 $v$ 的值域擴至 $\Gamma \cup \{\infty\}$ ，並設 $v(0)=\infty$ 。

p進賦值 [编辑]

設p為正質數。對於所有非零的有理數，存在一且唯一一個整數 $n$ 使得 $x = \frac{u}{v} p^n$ ，其中 $u,v$ 均非 $p$ 的倍數。p進賦值就是函數 $v_p: x \to n$ 。它給出一個p進絕對值 $\vert\cdot\vert _p:\,\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ ，定義為

$\vert x \vert _p = \begin{cases} 0 \\ p^{-v_p(x)} \\ \end{cases}$	若 $x=0$
	若 $x \ne 0$

p進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是 $\Z$ 。

例子 [编辑]

令 $X$ 為緊黎曼曲面， $\mathbb{C}(X)$ 為其上的亞純函數域。固定一點 $x \in X$ 。定義 $v_x(f)$ 為 $f$ 在 $x$ 的重根數，便得到 $\mathbb{C}(X)$ 上的賦值，其值群為 $\mathbb{Z}$ 。對於高維情形則須考慮其因子，但此時需考慮點的拉開，狀況較複雜。扎里斯基正是為了研究代數曲面而開始研究賦值論。
上述構造亦可套用到定義在任意域上的代數曲線。
利用函數域與數域的類比，可在 $\mathbb{Q}$ 上考慮p進賦值。根據奥斯特洛夫斯基定理， $\mathbb{Q}$ 上的任意賦值皆等價於某個p進賦值。