賦值向量環

在數論中，賦值向量環或阿代爾環（法文：adèle，英譯多用原文）是由一個域 $F$ 的所有完備化構成的拓撲環 $\mathbb{A}_F$ ，原域 $F$ 可以對角方式嵌入其中。

在現代代數數論中，賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

法文原文 adèle 是 idèle additif 的縮寫，其中 idèle 意指理想元（élément idéal）。adèle 也是法文中常見的女性名字。

定義 [编辑]

設 $F$ 為整體域，例如有理數域 $\mathbb{Q}$ 、一般的數域或函數域 $\mathbb{F}_q(T)$ 等等。設 $\mathcal{O}_F$ 為其中的代數整數環。對於所有 $F$ 上的賦值 $v$ （又稱位），可定義相應的完備化 $F_v$ 。在此，通常將賦值分為有限與無限兩類：

有限賦值：一一對應於 $\mathcal{O}_F$ 的素理想，兩兩不相等價。其中的賦值環記為 $\mathcal{O}_v$ 。
無限賦值： $F$ 上的非阿基米德賦值。對於數域，無限賦值係由域的嵌入 $\alpha: F \to \mathbb{C}$ 給出，兩個嵌入 $\alpha, \beta: F \to \mathbb{C}$ 給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛： $\alpha = \bar{\beta}$ 。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號 $\mathfrak{p}$ 表示賦值，並以 $\mathfrak{p} \mid \infty$ 表示 $\mathfrak{p}$ 為無窮賦值。

定義

$\mathbb{A}_F := {\prod_v}' F_v$

上式的積稱為限制積，這是 $\Pi_v F_v$ 的子環，我們要求對其中的每個元素 $(\alpha_v)_v$ ，存在包含所有無窮賦值的有限集 $S$ ，使得 $v \notin S \Rightarrow \alpha_v \in \mathcal{O}_v$ 。賦予 $\mathbb{A}_F$ 相應的子空間拓撲，是為賦值向量環。

$\mathbb{A}_F$ 的拓撲由在 $0$ 點的一組局部基確定，可取下述形式之開集：

$(\prod_{v \in S} U_v) \times (\prod_{v \notin S} \mathcal{O}_v)$

其中 $S$ 是函括所有無限賦值的有限集， $U_v \ni 0$ 是 $F_v$ 的開子集。根據Тихонов定理可知 $\mathbb{A}_F$ 為局部緊拓撲環，這是採限制積定義的原因之一。

性質 [编辑]

對角嵌入 $F \to \Pi_v F_v \quad (\alpha \mapsto (\alpha)_v)$ 的像落在 $\mathbb{A}_F$ ，可證明 $F$ 構成 $\mathbb{A}_F$ 的離散子集，而商群 $\mathbb{A}_F/F$ 是緊群。

固定 $\mathbb{A}_F$ 的任一特徵標 $\psi \neq 1$ ，則任何特徵標 $\psi'$ 皆可唯一地表示成 $\psi'(x) = \psi(ax) \quad (a \in \mathbb{A}_F)$ ，是故加法群 $(\mathbb{A}_F,+)$ 是其自身的對偶群。這是在賦值向量環上開展調和分析的關鍵之一。

應用 [编辑]

賦值向量環主要用於代數數論中。對於 $F$ 上的代數群 $G$ ，可考慮其上的 $\mathbb{A}_F-$ 點 $G(\mathbb{A}_F)$ 。由於代數群總是線性的（換言之，可嵌入 $\mathrm{GL}(n)$ ）， $G(\mathbb{A}_F)$ 可以具體設想為係數佈於環 $\mathbb{A}_F$ 上的線性群，並帶有自然的拓撲結構。