賦值向量環

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數論中,賦值向量環阿代爾環法文:adèle,英譯多用原文)是由一個 F 的所有完備化構成的拓撲環 \mathbb{A}_F,原域 F 可以對角方式嵌入其中。

在現代代數數論中,賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

法文原文 adèleidèle additif 的縮寫,其中 idèle 意指理想元(élément idéal)。adèle 也是法文中常見的女性名字。

定義[编辑]

F整體域,例如有理數\mathbb{Q}、一般的數域函數域 \mathbb{F}_q(T) 等等。設 \mathcal{O}_F 為其中的代數整數環。對於所有 F 上的賦值 v(又稱),可定義相應的完備化 F_v。在此,通常將賦值分為有限與無限兩類:

  • 有限賦值:一一對應於 \mathcal{O}_F素理想,兩兩不相等價。其中的賦值環記為 \mathcal{O}_v
  • 無限賦值F 上的阿基米德賦值。對於數域,無限賦值係由域的嵌入 \alpha: F \to \mathbb{C} 給出,兩個嵌入 \alpha, \beta: F \to \mathbb{C} 給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛:\alpha = \bar{\beta}。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號 \mathfrak{p} 表示賦值,並以 \mathfrak{p} \mid \infty 表示 \mathfrak{p} 為無窮賦值。

定義

\mathbb{A}_F := {\prod_v}' F_v

上式的積稱為限制積,這是 \Pi_v F_v 的子環,我們要求對其中的每個元素 (\alpha_v)_v,存在包含所有無窮賦值的有限集 S,使得 v \notin S \Rightarrow \alpha_v \in \mathcal{O}_v。賦予 \mathbb{A}_F 相應的子空間拓撲,是為賦值向量環

\mathbb{A}_F 的拓撲由在 0 點的一組局部基確定,可取下述形式之開集:

(\prod_{v \in S} U_v) \times (\prod_{v \notin S} \mathcal{O}_v)

其中 S 是函括所有無限賦值的有限集,U_v \ni 0F_v 的開子集。根據Тихонов定理可知 \mathbb{A}_F局部緊拓撲環,這是採限制積定義的原因之一。

性質[编辑]

  • 對角嵌入 F \to \Pi_v F_v \quad (\alpha \mapsto (\alpha)_v) 的像落在 \mathbb{A}_F,可證明 F 構成 \mathbb{A}_F 的離散子集,而商群 \mathbb{A}_F/F 是緊群。
  • 固定 \mathbb{A}_F 的任一特徵標 \psi \neq 1,則任何特徵標 \psi' 皆可唯一地表示成 \psi'(x) = \psi(ax) \quad (a \in \mathbb{A}_F),是故加法群 (\mathbb{A}_F,+) 是其自身的對偶群。這是在賦值向量環上開展調和分析的關鍵之一。

應用[编辑]

賦值向量環主要用於代數數論中。對於 F 上的代數群 G,可考慮其上的 \mathbb{A}_F-G(\mathbb{A}_F)。由於代數群總是線性的(換言之,可嵌入 \mathrm{GL}(n)),G(\mathbb{A}_F) 可以具體設想為係數佈於環 \mathbb{A}_F 上的線性群,並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是 G = \mathbb{G}_m,此時 G(\mathbb{A}_F) = \mathbb{A}_F^\times 稱為 idèle 群,這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中,須考慮更廣泛的代數群,以描述數域絕對伽羅瓦群

文獻[编辑]