賦值環

在抽象代數中，賦值環是一個域裡的一類特別子環，可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。

定義

一個域 F 的子環 R 被稱作賦值環，若且唯若對每個 $x \in F^*$，必有 $x \in R$ 或 $x^{-1} \in R$。

若 R 是主理想域，此時 R 被稱為離散賦值環。

性質

• 令$\mathcal{M} := F - R^*$，則 $\mathcal{M}$ 是 F 中唯一的極大理想。
• 承上，$k := R/\mathcal{M}$ 被稱作 R 的剩餘域。

範例

• 令 X 為一黎曼曲面，x 為其上一點。令 $R_x := \{f \in \mathbb{C}(X) : f(x) \neq \infty \}$，則 $R_x$ 構成一賦值環。
• 設 $F$ 為域，則 $F[[X]]$ 是 $F((X))$ 中的賦值環。
• $\mathbb{Z}_p$ 為 $\mathbb{Q}_p$ 中的賦值環。
• 設$(\Gamma, >)$ 為一有序交換群，$K$ 為域，$v: K^* \rightarrow \Gamma$ 為一賦值，則 $R_v := \{ r \in R : v(r) \geq 0\}$ 為一賦值環，此時$v(K^*)$被稱作其值群。可以證明所有的賦值環都由此而來。

文獻

• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.