賦值環

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抽象代數中,賦值環是一個裡的一類特別子環,可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。

定義[编辑]

賦值環是一个整环D分式域 F元素x,至少xx −1D. 一個 F 的子環 R 被稱作賦值環,若且唯若對每個  x \in F^* ,必有  x \in R x^{-1} \in R 。R被稱作其分式域 F賦值環或被稱作在其分式域 F素点

若 R 是主理想域,此時 R 被稱為離散賦值環

性質[编辑]

  • \mathcal{M} := F - R^* ,則 \mathcal{M} 是 F 中唯一的極大理想
  • 承上,k := R/\mathcal{M} 被稱作 R 的剩餘域

範例[编辑]

  • 任何都是賦值环。
  • Z(p)是賦值环, ,整数环在素理想局部化,其中分子,分母是不能被p整除的任何整数组成,。分式域有理数Q
  • 复平面上的亚纯函数的麦克劳林级数泰勒级数展开为零)环是一个賦值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。
  • 任何一个给定的素数p p进整数环Zp 是局部环(p进数的分式域Qp域),p进整数环Zp 代数闭域Zpcl也是一个局部环, ZpZpcl都是賦值环。

设k是一个有序的领域。 k的元素被称为有限的,如果它在于两个整数N <X <米;否则,它被称为无限。有限元素的K D是估值环。等元素x的x∈D和X-1∉D是无穷小元素的集合;一个元素x在X∉D和X-1∈D,被称为无限。 有限元的超现实领域·R环F是一个* R的估值环F由所有超现实的数字,从一个标准的真正的不同,由一个无限小的量,这相当于说超现实数x这样一些标准的整数n-N <X <N。渣场,有限的超现实数模无穷的超现实数字理想,是同构的实数。

  • 令 X 為一黎曼曲面,x 為其上一點。令  R_x := \{f \in \mathbb{C}(X) : f(x) \neq \infty \},則 R_x 構成一賦值環。
  • F 為域,則 F[[X]]F((X)) 中的賦值環。
  • \mathbb{Z}_p\mathbb{Q}_p 中的賦值環。
  • (\Gamma, >) 為一有序交換群K 為域,v:  K^* \rightarrow \Gamma 為一賦值,則 R_v := \{ r \in R : v(r) \geq 0\} 為一賦值環,此時v(K^*)被稱作其值群。可以證明所有的賦值環都由此而來。

文獻[编辑]

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.