素數定理

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素数定理描述素数的大致分佈情況。

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看,素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看,素数的個數竟然有規可循。對正實數x,定義π(x)為素数计数函数,亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

\pi(x)\approx\frac{x}{\ln\,x}

其中ln xx自然對數。上式的意思是當x趨近∞,π(x)與x/ln x的比值趨近1。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。

下面是對π(x)更好的估計:

\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln\,x}}\right),當x 趨近∞。

其中{\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln\,t}对数积分),而關係式右邊第二項是誤差估計,詳見大O符號

下表比較了π(x),x/ln x和Li(x):

x \boldsymbol{\pi}(x)[1] \boldsymbol{\pi}(x)-\frac{x}{\ln x}[2] \frac{\boldsymbol{\pi}(x)}{\frac{x}{\ln x}} {\rm Li} (x) - \boldsymbol{\pi} (x)[3] \frac{x}{\boldsymbol{\pi}(x)}
10 4 −0.3 0.921 2.2 2.500
102 25 3.3 1.151 5.1 4.000
103 168 23 1.161 10 5.952
104 1,229 143 1.132 17 8.137
105 9,592 906 1.104 38 10.425
106 78,498 6,116 1.084 130 12.740
107 664,579 44,158 1.071 339 15.047
108 5,761,455 332,774 1.061 754 17.357
109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 19.667
1010 455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 21.975
1011 4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 24.283
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 28.896
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 31.202
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 33.507
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 35.812
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,956,589 38.116
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 40.420
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 42.725
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 45.028
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 1.022 597,394,254 47.332
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1.021 1,932,355,208 49.636
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 1.020 7,250,186,216 51.939


素数定理可以給出第n個素数pn)的漸近估計:

p(n)\sim n\ln\,n.

它也給出從整數中抽到素数的概率。從不大於n的自然數隨機選一個,它是素数的概率大約是1/ln n

這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德拉瓦莱普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析,尤其是黎曼ζ函數

因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切,關於黎曼ζ函數的黎曼猜想數論很重要。一旦猜想獲證,便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出,假設黎曼猜想成立,以上關係式誤差項的估計可改進為

 \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right)

至於大O項的常數則還未知道。[來源請求]

初等證明[编辑]

素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明,顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題,必須引進複數來解決。

外部链接[编辑]

  1. ^ A006880
  2. ^ A057835
  3. ^ A057752