質數階乘

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pn# 是計算第n質數階乘函數.
質數階乘n#(紅色的)與 階乘n!(綠色的)的比較.

質數階乘(又稱:质数階乘)是所有小於或等於該數且大於或等於2的質數的積,自然數n的質數階乘,寫作n#。例如10以下的質數有:2,3,5,7,所以10#=7×5×3×2=210。如果要計算第n個質數階乘的值時,寫作pn#。例:第個質數為5,所以p3# = 5# = 5×3×2=30。[1] 質數階乘階乘不同於,質數階乘『質數乘積』而階乘是『自然數乘積』。 質數階乘Harvey DubnerHarvey Dubner)定義並命名。

用質數定義[编辑]

n個質數pn質數階乘pn#定義為前n個質數的:[2][3]

p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k

其中pk是第k個質數。

例如,p5#代表前五個質數的乘積:

p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.

前幾個質數階乘pn#是:

1, 2, 6, 30, 210, 2310. (OEIS中的数列A002110

並定義p0# = 1 as 空積empty product).

質數階乘pn#的漸進遞增為:

p_n\# = \exp \left [ (1 + o(1)) \cdot n \log n \right ],[3]

上面的算式,其中:

用自然數定義[5][编辑]

一般情況下,對於正整數n的一質數階乘n#(或稱作自然質數階乘)也可以被定義,即作為該質數≤n時:[2][6]

n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#

其中, π(n)質數計數函數OEIS中的数列A000720),小於或等於某個實數n的質數的個數的函數≤ n.

它等於:


n\# =
\begin{cases}
    1 & \text{if }n = 1 \\
    n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1 \And n \text{ is prime} \\
    (n-1)\# & \text{if }n > 1 \And n \text{ is composite}.
\end{cases}

例如, 12# 代表質數≤ 12:

12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.

因為π(12) = 5,所以這個算式也可以寫成:

12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.

前幾個自然質數階乘n#是:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

不難發現當n為合成數時,n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12#  =  p5#  =  11#,因為12為合成數

n#自然對數是第一個切比雪夫函數Chebyshev function),計為\theta(n) or \thetasym(n)[7]

質數階乘n#的漸進遞增為:

\ln (n\#) \sim n.

質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的

質數階乘列表[编辑]

n n# pn pn#
0 1 無質數 1
1 1 2 2
2 2 3 6
3 6 5 30
4 6 7 210
5 30 11 2310
6 30 13 30030
7 210 17 510510
8 210 19 9699690
9 210 23 223092870
10 210 29 6469693230
11 2310 31 200560490130
12 2310 37 7420738134810
13 30030 41 304250263527210
14 30030 43 13082761331670030
15 30030 47 614889782588491410

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.
  1. ^ 本段是翻譯自ja:素数階乗
  2. ^ 2.0 2.1 埃里克·韦斯坦因, Primorial at MathWorld
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 OEIS中的数列A002110
  4. ^ 本段(質數階乘#用質數定義)是翻譯自en:Primorial#Definition for prime numbers
  5. ^ 本段(質數階乘#用自然數定義)是翻譯自en:Primorial#Definition for natural numbers
  6. ^ OEIS中的数列A034386
  7. ^ 埃里克·韦斯坦因, Chebyshev Functions at MathWorld