質數階乘

p_n# 是計算第n個質數階乘的函數.

質數階乘n# (紅色的), 與 階乘n! (綠色的)的比較.

質數階乘(又稱:质数階乘) 是所有小於或等於該數且大於或等於2的質數的積，自然數n的質數階乘，寫作n#。例如10以下的質數有:2,3,5,7，所以10#=7×5×3×2=210 。如果要計算第n個質數階乘的值時，寫作p_n#。例：第三個質數為5，所以p3# = 5# = 5×3×2=30。 質數階乘與階乘不同於，質數階乘『質數乘積』而階乘是『自然數乘積』。 質數階乘由Harvey Dubner定義並命名。

用質數定義

第n個質數p_n 的質數階乘 p_n# 定義為前 n 個質數的積:

$p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k$

其中p_k 是第k個質數。

例如， p₅# 代表前五個質數的乘積:

$p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.$

前幾個質數階乘 p_n# 是:

1, 2, 6, 30, 210, 2310. （OEIS中的数列A002110）

並定義p₀# = 1 as 空積.

質數階乘p_n#的漸進遞增為:

$p_n\# = \exp \left [ (1 + o(1)) \cdot n \log n \right ],$

上面的算式，其中:

• "exp"是指數函數 e^x
• "o" 是大O符號.

用自然數定義

一般情況下，對於正整數n 的一質數階乘 n#(或稱作自然質數階乘)也可以被定義，即作為該質數≤n時:

$n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#$

其中, π(n)是 質數計數函數 （OEIS中的数列A000720）, 小於或等於某個實數n的質數的個數的函數 ≤ n.

它等於:

$n\# = \begin{cases} 1 & \text{if }n = 1 \\ n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1 \And n \text{ is prime} \\ (n-1)\# & \text{if }n > 1 \And n \text{ is composite}. \end{cases}$

• prime 指質數，composite 指合成數

例如, 12# 代表質數 ≤ 12:

$12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.$

因為 π(12) = 5, 所以這個算式也可以寫成:

$12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.$

前幾個自然質數階乘 n#是:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

不難發現當n為合成數時，n# 的值總是與(n-1)# 相同。例如上面提及的12#  =  p₅#  =  11#，因為12為合成數

n#的自然對數是第一個切比雪夫函數，計為 $\theta(n)$ or $\thetasym(n)$。

質數階乘 n# 的漸進遞增為:

$\ln (n\#) \sim n.$

質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的

質數階乘列表

n	n#	pn	pn#
0	1	無質數	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410

參見

• 質數（质数）
• 階乘
• 歐幾里得數

參考文獻

• Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.