質數階乘質數

質數階乘質數(又稱素數階乘質數或質數階乘素數)是和某个質數階乘相邻的質數，即它是某个質數階乘的增一或減一。

p_n# 是p_n的質數階乘 .

質數p_n# − 1 是從n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... （OEIS中的数列A057704）

質數p_n# + 1 是從n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ... (A014545)

前幾個質數階乘質數是:

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209

截至2010年 (2010-), 我們所知道最大的質數階乘質數是843301# - 1 ，它有365,851位數, 2010年由PrimeGrid發現.

質數階乘質數也能用來證明質數是無限的 首先，假設第n質數的質數是唯一的存在。如果其中的p_n# + 1 或 p_n# − 1 是質數階乘質數，這意味著有更大的質數比第n個質數（如果既不是質數，這也證明了無窮的質數，但不直接注，每這兩個數字有其餘的要麼p−1 或 1時，除以任何前n質數，因此不能多其中任何一數）。

事實上，歐幾里德的證明並沒有假設一個有限集合包含的所有質數的存在。相反，他說：

consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.

意思是: 考慮任何質數的有限集合（不一定是第n的質數，例如，它可能是集合{3，11，47}），然後從這兩個方面得到這樣的結論：至少存在一個質數不是在該集合。[1]

參見

• 質數階乘
• 階乘質數
• 歐幾里得數
• PrimeGrid

參考文獻

• A. Borning, "Some Results for $k! + 1$ and $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot p + 1$" Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial at The Prime Pages.
• 埃里克·韦斯坦因, Primorial Prime at MathWorld
• Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197 - 203.
• Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.