質數階乘質數

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質數階乘質數(又稱素數階乘質數質數階乘素數)是和某个質數階乘相邻的質數,即它是某个質數階乘的增一或減一。

pn# 是pn質數階乘.
質數pn# − 1是從n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... (OEIS中的数列A057704
質數pn# + 1是從n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...(A014545

前幾個質數階乘質數是:

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209

截至2010年  (2010-表达式错误:无法识别的标点“�”), 我們所知道最大的質數階乘質數是843301# - 1,它有365,851位數, 2010年由PrimeGrid發現.[1]

質數階乘質數也能用來證明質數是無限的 首先,假設第n質數的質數是唯一的存在。如果其中的pn# + 1或pn# − 1是質數階乘質數,這意味著有更大的質數比第n個質數(如果既不是質數,這也證明了無窮的質數,但不直接注,每這兩個數字有其餘的要麼p−1或1時,除以任何前n質數,因此不能多其中任何一數)。[2]

事實上,歐幾里德的證明並沒有假設一個有限集合包含的所有質數的存在。相反,他說:

consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.

意思是: 考慮任何質數的有限集合(不一定是第n的質數,例如,它可能是集合{3,11,47}),然後從這兩個方面得到這樣的結論:至少存在一個質數不是在該集合。[1][3][4]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Primegrid.com; official anouncement, 24 December 2010
  2. ^ 本段落是譯自en:Primorial prime的第4段
  3. ^ 本段是譯自en:Primorial prime的文字最後一行
  4. ^ A. Borning, "有些結果k! + 1 and 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot p + 1" Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.