贝塞尔滤波器

在电子学和信号处理领域，贝塞尔滤波器（Bessel filter）是具有最大平坦的群延迟（线性相位响应）的线性滤波器。贝塞尔滤波器常用在音频天桥系统中。模拟贝赛尔滤波器在几乎整个通频带都具有恒定的群延迟，因而在通频带上保持了被过滤的信号波形。滤波器的得名德国数学家弗雷德里希·贝塞尔，他发展了滤波器的数学理论基础。

传递函数

描述贝塞耳滤波器低通滤波器的传递函数如下：

$H(s) = \frac{\theta_n(0)}{\theta_n(s/\omega_0)}\,$

这里θn(s)是一个反向贝塞耳多项式，ω0是选定的期望截止频率。

简单例子

下面是一个三阶贝塞尔低通滤波

$H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15}.$

gain值为

$G(\omega) = |H(j\omega)| = \frac{15}{\sqrt{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}}. \,$

相位为

$\phi(\omega)=-\arg(H(j\omega))= -\arctan\left(\frac{15\omega-\omega^3}{15-6\omega^2}\right). \,$

群延迟为

$D(\omega)=-\frac{d\phi}{d\omega} = \frac{6 \omega^4+ 45 \omega^2+225}{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}. \,$

群延迟的泰勒级数展开为

$D(\omega) = 1-\frac{\omega^6}{225}+\frac{\omega^8}{1125}+\cdots.$

注意在ω2和ω4的二个term是零，在ω=0造成非常平坦的群延迟。这是可以调整到零term的最大数量，因为在三阶贝赛尔多项式中总共有四个系数，要求定义四个等式。一个等式是为了在ω = 0 时the gain be unity，第二个等式指定ω =无穷时gain是零，剩下二个等式指定二个terms的级数展开是零。这是n秩贝赛尔滤波的群延迟的一般特性：在群延迟的前n-1级数展开的term为零，因而ω = 0时群延迟的扁平得以最大化。