负二项分布

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负二项分布

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參數 r > 0\! ()
0<p<1\!(實)
支撑集 k \in \{0,1,2,\ldots\}\!
概率质量函數 \frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!
累積分佈函數 I_p(r,k+1)
期望值 r\,\frac{1-p}{p}\!
眾數 \lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1
0\text{ if }r\leq 1
方差 r\,\frac{1-p}{p^2}\!
偏度 \frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!
峰度 \frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!
動差生成函數 \left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!
特性函数 \left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!

負二項分布統計學上一種離散概率分布。“负二项分布”与“二项分布”的区别在于:“二项分布”是固定试验总次数N的独立试验中,成功次数k的分布;而“负二项分布”是所有到成功r次时即终止的独立试验中,失败次数k的分布。

记号[编辑]

若随机变量\mathit{X}服从参数为\mathit{r}\mathit{p}的负二项分布,则记为X \sim NB(r,p).

應用[编辑]

r是整數時,負二項分布又稱帕斯卡分布,其概率質量函數f(k;r,p) = {k+r-1 \choose r-1}\cdot p^r \cdot (1-p)^k \!。它表示,已知一個事件在伯努利試驗中每次的出現機率是p,在一連串伯努利試驗中,一件事件剛好在第r+k次試驗出現第r次的機率。

r=1,負二項分布等於幾何分布。其概率質量函數為f(k;1,p) =  p \cdot (1-p)^k \!

舉例說,若我們擲骰子,擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一,所需的擲骰次數屬於集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。要在第三次擲骰時,擲到第三次一,則之前兩次都要擲到一,其機率為(1/6)^3。注意擲骰是伯努利試驗,之前的結果不影響隨後的結果。

若要在第四次擲骰時,擲到第三次一,則之前三次之中要有剛好兩次擲到一,在三次擲骰中擲到2次1的機率為{3 \choose 3-1}(5/6)(1/6)^2。第四次擲骰要擲到一,所以要將前面的機率再乘(1/6):{1+3-1 \choose 3-1}(1/6)^3 (5/6)