负二项分布

负二项分布

概率质量函數 紅線是平均值 綠線是標準差
累積分佈函數
參數	$r > 0\!$ (實) $0<p<1\!$ (實)
支撑集	$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$
概率质量函數	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!$
累積分佈函數	$I_p(r,k+1)$
期望值	$r\,\frac{1-p}{p}\!$
中位數
眾數	$\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\text{ if }r>1$ $0\text{ if }r\leq 1$
方差	$r\,\frac{1-p}{p^2}\!$
偏度	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$
峰度	$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$
信息熵
動差生成函數	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$
特性函数	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$

負二項分布是統計學上一種離散概率分布。

记号

若随机变量$\mathit{X}$服从参数为$\mathit{r}$和$\mathit{p}$的负二项分布，则记为$X \sim NB(r,p)$.

應用

當$r$是整數時，負二項分布又稱帕斯卡分布，其概率質量函數為 $f(k;r,p) = {k+r-1 \choose r-1}\cdot p^r \cdot (1-p)^k \!$。它表示，已知一個事件在伯努利試驗中每次的出現機率是$p$，在一連串伯努利試驗中，一件事件剛好在第$r+k$次試驗出現第$r$次的機率。

取$r=1$，負二項分布等於幾何分布。其概率質量函數為 $f(k;1,p) = p \cdot (1-p)^k \!$。

舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合 { 3, 4, 5, 6, ... } 。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其機率為$(1/6)^3$。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結果不影響隨後的結果。

若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一，在三次擲骰中擲到2次1的機率為${3 \choose 3-1}(5/6)(1/6)^2$。第四次擲骰要擲到一，所以要將前面的機率再乘(1/6)：${1+3-1 \choose 3-1}(1/6)^3 (5/6)$。