负数

數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\mathbb{N}$ 整數 $\mathbb{Z}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\mathbb{Q}$ 高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 代數數 $\mathbb{A}$ 實數 $\mathbb{R}$ 複數 $\mathbb{C}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

雙複數 四元數 $\mathbb{H}$ 共四元數 八元數 $\mathbb{O}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\mathbb{S}$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${}^\star\mathbb{R}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數的底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = $+\sqrt{-1}$ 無窮大量 ∞

数学上，负数是指小于 0 的实数，如 −3.7。与负数相关的概念有：

• 正数：大于 0 的实数，如 5.2。
• 非负数：不是负数的实数，指正数和 0。
• 非正数：不是正数的实数，指负数和 0。

负数的历史

负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式 x − y = z 对任意 x 和 y 都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示負債，而且通常以紅色表示（不帶負數符號或加上括號），所以又稱「赤字」。

自从公元前4世纪，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。 公元1世纪的《九章算術》说“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”（這段話的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。”）以上文字里的“無入”通常被数学历史家认为是零的概念。（全文见维基文库的《九章算術》）

西方最早在数学上使用负数的是一本印度数学文献，Brahmagupta写于628年的 BrahmaSphuta-Sidd'hanta。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。

符号函数

在实数上可以定义这样一个函数 sgn(x)，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

$\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x 0 \end{matrix}\right.$

当 x 不为 0 时，则有：

$\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1.$

这里，|x| 为 x 的绝对值，H(x) 为单位阶跃函数。请参见导数。

负数的四則運算

負數四則運算口訣

口訣	釋義
	加法	減法	乘法			除法
			被乘數	乘數	積	被除數	除數	商
正正得正	a + (+b) = a + b	－	正	正	正	正	正	正
正負得負	a + (−b) = a − b	－	正	負	負	正	負	負
負正得負	－	a − (+b) = a − b	負	正	負	負	正	負
負負得正	－	a − (−b) = a + b	負	負	正	負	負	正

負數四則運算口訣簡單版

兩個符號一樣	兩個符號不同
得正	得負

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加法

加上一个负数相当于减去其相反數：

$5 + (-3) = 5 - 3 = 2 \,$

$-2 + (-5) = -2 - 5 = -7 \,$

减法

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数：

$4 - 6 = -2 \,$

$0 - 5 = -5 \,$

任意负数减去一个正数总得到一个负数：

$-6 - 3 = - (6 + 3) = -9 \,$

减去一个负数相当于加上相应的正数：

$5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \,$

$(-8) - (-3) = -5 \,$

乘法

一个负数和一个正数相乘得到一个负数：(−2) × 3 = −6。这里，乘法可以被看作是多次加法的重复：(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6。

两个负数相乘得到一个正数：(−3) × (−4) = 12。这里，乘法不能再被看作是多次加法的重复了，而是为了使乘法满足分配律：

$\bigg[3 + (-3)\bigg] \times (-4) = 3 \times (-4) + (-3) \times (-4). \,$

等式的左边为 0 × (−4) = 0。等式的右边为 −12 + (−3) × (−4)。为了使两边相等，必须要 (−3) × (−4) = 12。

除法

除法和乘法类似。若被除数和除数有不同的符号，结果是一个负数：

$\; 8 \;\div\; (-2) = (-4) \,$

$(-10) \;\div\; 2 = (-5) \,$

若被除数和除数有相同的符号（就算他们均为负），结果是一个正数：

$(-12) \;\div\; (-3) = 4 \,$

参见

• 整数
• 实数
• 超实数