质量通量

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质量通量mass flux)是指單位時間內通過單位面積質量,常用jJφΦ 表示,有時會加下標m表示是針對質量的通量。其國際標準制單位為kg s-1 m-2

定義[编辑]

质量通量可以用以下的極限來定義:

j_m = \lim\limits_{A \rightarrow 0}\frac{I_m}{A}

其中

I_m = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{dm}{dt}

是單位時間的質量,而A是質量所通過的截面積。

若要計算向量形式的质量通量jm,需要計算從時間t1t2之間通過表面S曲面积分,可以得到在時間(t2t1)內通過表面的總筫量:

m=\int_{t_1}^{t_2}\iint_S \bold{j}_m\cdot\bold{\hat{n}}{\rm d}A{\rm d}t

要計算的面積可能是平坦或是彎曲的,也可能是一個曲面或是一截面積。例如考慮流過管路內的流體,則其面積就是指定區域的截面積。

向量面積英语vector area是由面積大小A和面積的單位法向量\bold{\hat{n}}組合而成的物理量,其關係是\bold{A} = A \bold{\hat{n}}

若质量通量jm和截面積的法向量\bold{\hat{n}}有θ度的夾角,則

\bold{j}_m\cdot\bold{\hat{n}}= j_m\cos\theta

其中·為向量的內積,因此通過截面積的质量通量為jm cos θ,而沿著截面積切線的质量通量為jm sin θ,但這部份的分量沒有通過截面積。

流體方程[编辑]

替代方程[编辑]

配合向量的定義,質量通量也可以表示為下式[1]

\bold{j}_{\rm m} = \rho \mathbf{u}

其中:

  • ρ 為密度,
  • u 為流體的流速

有時可以用此方程來定義向量形式的質量通量。

混合流體的質量通量及莫耳通量[编辑]

若流體是多種物質的混合物,需依混合物中的各個成份個別計算質量通量。

若流體中只有一種物質,適合用質量通量來表示,但若流體中包括許多不同的粒子,此時比較適合用另一個類似的物理量來描述,稱為莫耳通量

質量通量[编辑]

若使用質量通量,成份i的質量通量為:

\bold{j}_{{\rm m}, \, i} = \rho_i \mathbf{u}_i

成份i的質心質量通量(barycentric mass flux)為:

\bold{j}_{{\rm m}, \, i} = \rho \left ( \mathbf{u}_i - \langle \mathbf{u} \rangle \right )

其中 \langle \mathbf{u} \rangle 為混合物中所有成份的平均质量流速(mass velocity),可以用下式計算:

 \langle \mathbf{u} \rangle = \frac{1}{\rho}\sum_i \rho_i \mathbf{u}_i = \frac{1}{\rho}\sum_i \mathbf{j}_{{\rm m}, \, i}

其中:

  • ρ為混合物的平均密度
  • ρi為成份i的密度
  • u i為成份i的速度

平均速度是依所有成份依密度加權來計算平均。

莫耳通量[编辑]

若將上式的密度ρ改為莫耳數n,則可計算莫耳通量。

莫耳通量是單位時間通過單位體積的莫耳數:

\bold{j}_{\rm n} = n \mathbf{u}

因此成份i的莫耳通量(單位時間通過單位體積的莫耳數)為:

\bold{j}_{{\rm n}, \, i} = n_i \mathbf{u}_i

成份i的質心莫耳通量(barycentric molar flux)為:

\bold{j}_{{\rm n}, \, i} = n \left ( \mathbf{u}_i - \langle \mathbf{u} \rangle \right )

此時 \langle \mathbf{u} \rangle 則是混合物中所有成份的莫耳速度(molar velocity):

 \langle \mathbf{u} \rangle = \frac{1}{n}\sum_i n_i \mathbf{u}_i = \frac{1}{n}\sum_i \mathbf{j}_{{\rm m}, \, i}

用法[编辑]

流體動力學連續方程式中會用到质量通量:

\nabla\cdot\bold{j}_{\rm m} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0

上述方程式表示流體的質量守恆,流體只能從一處流到另一處。

莫耳通量則出現在有關擴散作用菲克第一定律中:

\nabla\cdot\bold{j}_{\rm n} = -\nabla \cdot D \nabla c

其中D擴散係數c為物質的濃度

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Vectors, Tensors, and the basic Equations of Fluid Mechanics, R. Aris, Dover Publications, 1989, ISBN(10) 0-486-66110-5