费马大定理

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费马大定理，也称費馬最後定理（Dernier théorème de Fermat），乃下述定理：

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程

xn + yn = zn.
的整数解都是平凡解，即
当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)
当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)

這個定理，本來又称费马猜想，由17世纪法国数学家费马提出。費馬在一本書的空位裏寫，他已找到一個絕妙證明，但書邊沒有足夠的空位寫下。但經過三个半世紀的努力，這個世紀数论难题才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）和他的學生理查·泰勒（Richard Taylor）於1995年成功證明。證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模型式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由于成功證明此定理，獲得了2005年度邵逸夫獎的數學獎。

目录

[编辑] 歷史

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

“ 将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下[1]。 ”

畢竟費馬沒有寫下证明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。

對很多不同的n，費馬定理早被證明了。但數學家對一般情況在首二百年內仍一籌莫展。

1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世後一百年內，第一个证明该定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的「證明」。在一戰之後，馬克大幅貶值，該定理的魅力也大大地下降。

1983年，Gerd Faltings證明了Mordell猜测（Faltings' theorem），從而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互質的a,b,c使得an + bn = cn。

1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想（Epsilon conjecture）”：若存在a,b,c使得an + bn = cn，即如果費馬大定理是錯的，則橢圓曲線

y2 = x(x - an)(x + bn)

會是谷山志村猜想的一個反例。Frey的猜想隨即被Kenneth Ribet證實。此猜想顯示了費馬大定理与橢圓曲線及模形式的密切關係。

1995年，懷爾斯和泰勒在一特例範圍内證明了谷山志村猜想，Frey的橢圓曲線剛好在這一特例範圍内，從而證明了費馬大定理。

懷爾斯證明費馬大定理的過程亦甚具戲劇性。他用了七年時間，在不為人知的情況下，得出了證明的大部分；然後於1993年6月在一個學術會議上宣佈了他的證明，並瞬即成為世界頭條。但在審批證明的過程中，專家發現了一個極嚴重的錯誤。懷爾斯和泰勒然後用了近一年時間嘗試補救，終在1994年9月以一個之前懷爾斯拋棄過的方法得到成功，這部份的證明與岩澤理論有關。他們的證明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。

[编辑] 證明

費馬大定理的證明牽瀕不同範疇的數學學問，主要包括橢圓曲線和模型式。若打算閱讀威爾斯的證明，那應先在線性代數及複分析兩範疇上打好基本功，再轉而閱讀橢圓曲線和模型式的課本。

[编辑] 参见

[编辑] 參考資料

  1. ^ 拉丁文原文: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
  • Fermat's Enigma (previously published under the title Fermat's Last Theorem), by Simon Singh; Bantam Books; ISBN 0802713319 (hardcover, September 1998)

[编辑] 外部連結

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