费马小定理
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费马小定理是数论中的一个定理:假如a是一个整数,p是一个素数,那么
如果a不是p的倍数,这个定理也可以写成
这个书写方式更加常用。(符号的应用请参见模运算。)
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[编辑] 历史
皮埃爾·德·費馬于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。这个要求实际上不需要。
与费马小定理相关的有一个猜想。这个猜想是中国数学家提出来的。其内容为:当且仅当2^p = 2(mod p)成立时p是一个素数。
也就是说,如果p是一个素数的话,则2^p = 2(mod p)成立(这是费马小定理的一个特殊情况)。这个结论是对的。但反过来,假如2^p = 2(mod p)成立则p是一个素数的结论是错的(例如,341符合上述条件,但它不是一个素数:341=11x31。)。因此,整个说来,这个猜想是不成立的。
一般认为,中国数学家比费马大约早2000年左右就已经知道中国猜想了。但也有人认为,实际上这个中国猜想是于1872年提出的。
[编辑] 证明
若n不能整除a - b,x>0,(x,n)=1,則n也能不整除x(a-b)。取整數A为所有小於p的集(p不能整除A),B是A中所有的元素乘以a组成的集合。因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除,所以B中的任何两个元素之差也不能被p整除。因此
即
在这里W=1·2·3·...·(p-1),且(W, p) = 1,因此将整个公式除以W即得到:
[编辑] 广义
费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况:如果n和a的最大公约数是1,那么
这里φ(n)是欧拉商数。欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的个数。假如n是一个素数,则φ(n) = n-1,即费马小定理。
在费马小定理的基础上,费马提出了一种测试素数的算法;尽管它并不实用。
[编辑] 实际应用
如上所述,中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数的数被称为伪素数。
如果所有符合1 < b < p的b p都满足下列条件的话:
则p必定是一个素数。
实际上,没有必要测试所有的小于p的自然数,而仅需测试所有的小于p的素数即可。
这个算法的缺点是运算速度非常慢。







