费马小定理

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费马小定理数论中的一个定理:假如a是一个整数p是一个質数,那么a^p - a 是p的倍数,可以表示为

a^p \equiv a \pmod{p}

如果a不是p的倍数,这个定理也可以写成

a^{p-1} \equiv  1 \pmod{p}

这个书写方式更加常用。(符号的应用请参见同餘。)

历史[编辑]

皮埃爾·德·費馬于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。

1736年,歐拉出版了一本名為“一些與素數有關的定理的證明”(拉丁文:Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”[1]的論文中第一次提出證明,但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。

有些數學家獨立製作相關的假說(有時也被錯誤地稱為中國的假說[2]),當2^{p} \equiv 2 \pmod{p}成立時,p是素數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而,這一假說的前設是錯的:例如,2^{341} \equiv 2 \pmod{341},而341=11×31是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。

证明[编辑]

若n不能整除a - b,x>0,(x,n)=1,則n也不能整除x(a-b)。取整數集A为所有小於p的(A构成p的完全剩余系,即A中不存在两个数同余p),B是A中所有的元素乘以a组成的集合。因为A中的任何两个元素之差都不能被p整除,所以B中的任何两个元素之差也不能被p整除。因此

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (p-1) \equiv (1 \cdot a)\cdot(2 \cdot a)\cdot\dots\cdot ((p-1) \cdot a) \pmod{ p},

W \equiv W\cdot a^{p-1} \pmod{p},

在这里W=1·2·3·...·(p-1),且(W, p) = 1,因此将整个公式除以W即得到:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

广义[编辑]

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况:如果na的最大公约数是1,那么

a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}

这里φ(n)是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的个数。假如n是一个素数,则φ(n) = n-1,即费马小定理。

在费马小定理的基础上,费马提出了一种测试素数的算法;尽管它是錯誤。

卡邁克爾數[编辑]

所述,中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数的数被称为伪素数。

更极端的反例是卡迈克尔数: 假設a與561互质,則a^{560}被561除都余1。这样的数被称为卡邁克爾數数,561是最小的卡邁克爾数。Korselt在1899年就给出了卡邁克爾數的等价定义,但直到1910年才由卡邁克爾(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡邁克爾数:561。1994年William Alford 、 Andrew Granville 及 Carl Pomerance证明了卡邁克爾数有无穷多个。

外部链接[编辑]

参见[编辑]

參考[编辑]

  1. ^ A proof of certain theorems regarding prime numbers
  2. ^ 見英文維基百科 Chinese hypothesis