费马引理

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费马引理实分析中的一个定理,以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点(函数的导数在该点为零),该定理给出了一个求出可微函数最大值最小值的方法。因此,利用费马引理,求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

需要注意的是,费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说,有些驻点不是极值,它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值,并进一步区分最大值和最小值,我们需要分析二阶导数(如果它存在)。

定理[编辑]

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意的x\in U(x_0),有

f(x)\le f(x_0)f(x)\ge f(x_0)

那么f^\prime(x_0)=0

费马引理的一个推论是,函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上,不可导的点,或驻点取得。

证明[编辑]

假设\displaystyle x_0是一个极大值(如果\displaystyle x_0是极小值,证明亦类似)。那么存在一个\delta > 0 ,使得对于所有的\displaystyle |x - x_0| < \delta ,都有f(x_0) \ge f(x)\, 。因此对于任何h \in (0,\delta),有:

\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.

由于当\displaystyle h从上方趋于0时,这个比值的极限存在且为\displaystyle f'(x_0),我们便有f'(x_0) \le 0。另一方面,当h \in (-\delta,0)时,我们注意到:

\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0

\displaystyle h从下方趋于0时,这个极限存在,且等于\displaystyle f'(x_0),我们又有f'(x_0) \ge 0

因此\displaystyle f'(x_0) = 0

参见[编辑]

外部链接[编辑]