赝矢量

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一個載有電流的線圈(黑色)會產生磁場(藍色)。若線圈的位置和電流都對應點線鏡面反射,其產生的磁場不會是原磁場的鏡面反射,會是原磁場反射後,再加以反向。線圈的位置和電流是向量,但產生的磁場是赝矢量[1]

赝矢量英语Pseudovector)也稱為偽向量,指的是在瑕旋轉英语Improper rotation(例如空间反衍)下,除了隨之反射外,還会再改变方向的矢量矢量(极矢量)和赝矢量(轴矢量)都属于广义上的矢量,在一般旋轉下的特性相同。但更严格地说,矢量还要求在空间反衍下,除了空间反衍下,不會再改变方向。

在三維空間中,赝矢量p可以表示為二個极矢量ab外積[2]

\mathbf{p} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}.\,

以此方式計算的p是赝矢量,其中一個例子是有向平面的法向量。有向平面可以用二個不平行的向量ab來定義[3]。向量a × b垂直此平面(和平面垂直的向量有二個,其方向恰好相反,可以用右手定則決定是哪一個),為一赝矢量。

許多物理量是赝矢量,例如磁感应强度角速度等。在數學上赝矢量對應三維的二重矢量英语bivector可以由此推得赝矢量的轉換規則。n幾何代數英语Geometric algebra的赝矢量是n − 1維代數的元素,可以表示為Λn−1Rn。可以由赝矢量引申出贋純量英语pseudoscalar贋張量英语pseudotensor,在瑕旋轉下會純量張量多出一個負號。

物理例子[编辑]

物理中贗矢量的例子包括有磁場力矩渦量角動量

一部要遠離的車,各輪子對一觀察者產生的角動量為向右的,這部車產生的鏡像,各輪子對同一觀察者產生的角動量也是向右的

考慮贗矢量角動量 L = r × p。假設開一部車前進,各輪子產生的角動量會朝左。若考慮車子的鏡像,角動量向量若以一般向量的觀點來看,其鏡像應該往右,但真正車子鏡像的角動量仍然往左(在鏡像中的車輪仍然往前進),因此在贗矢量反射後,會比一般向量多一個負號。

矢量和贗矢量之間的不同在研究物理系統的對稱性時很重要。考慮在一個z = 0平面上的線圈,上面有電流,會產生一個z方向的磁場,此系統在z平面的鏡相反射下是對稱(不變)的,磁場不會因鏡相反射而相反,但是若將磁場視為一個一般的向量,應該會隨鏡相反射而相反,其原因就是因為磁場是贗矢量,產生一個額外的負號,因為沒有反相。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Stephen A. Fulling, Michael N. Sinyakov, Sergei V. Tischchenko. Linearity and the mathematics of several variables. World Scientific. 2000. 343. ISBN 981-02-4196-8. 
  2. ^ Aleksandr Ivanovich Borisenko, Ivan Evgenʹevich Tarapov. Vector and tensor analysis with applications Reprint of 1968 Prentice-Hall. Courier Dover. 1979. 125. ISBN 0-486-63833-2. 
  3. ^ RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors from Chapter 52: Symmetry and physical laws, in: Feynman Lectures in Physics, Vol. 1