赫爾德條件

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數學上,稱\R^n上的實值函數f適合赫爾德條件,或稱赫爾德連續,當存在非負常數C\alpha,使得 \forall x, y \in \R^n ,

 | f(x) - f(y) | \leq C |x - y| ^{\alpha}.

這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函數。\alpha稱為赫爾德條件的指數。如果\alpha=1,則函數適合利普希茨條件。如果\alpha=0,則函數不過是有界的。

由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫爾德空間,在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記\Omega為某個歐幾里得空間開集,赫爾德空間 C^{n, \alpha} (\Omega)所包含的函數,是直到n階微分都適合指數\alpha的赫爾德條件。這是拓撲向量空間,可以定義半範數

 | f |_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha},

 n\geq 0  ,下式給出範數

 \| f \|_{C^{n, \alpha}} = \|f\|_{C^n}+\max_{| \beta | = n} | D^\beta f |_{C^{0,\alpha}}

其中\beta涵蓋所有多重指標,而

\|f\|_{C^n}=\max_{| \beta | \leq n}\sup_{x\in\Omega}  |D^\beta f (x)|

C^{0,\alpha}({\mathbb R})的例子[编辑]

  • 如果0<\alpha\leq\beta\leq1,那麼所有C^{0,\beta}赫爾德連續函數都是C^{0,\alpha}赫爾德連續的。這也包括了\beta=1(这里需要集合是有界的),所以所有利普希茨連續函數都是C^{0,\alpha}赫爾德連續。
  • [0,3]上定義函數f(x)=\sqrt{x}f不是利普希茨連續;但對\alpha\le\frac12fC^{0,\alpha}赫爾德連續。