赫爾德條件

數學上，稱$\R^n$上的實值函數f適合赫爾德條件，或稱赫爾德連續，當存在非負常數C，α，使得$\forall x, y \in \R^n$,

$| f(x) - f(y) | \leq C |x - y| ^{\alpha}.$

這條件可以推廣至任何兩個度量空間之間的函數。α稱為赫爾德條件的指數。如果α = 1，則函數適合利普希茨條件。如果α = 0，則函數不過是有界的。

由適合某個赫爾德條件的函數組成的赫爾德空間，在泛函分析有關解偏微分方程的領域有基本地位。記Ω為某個歐幾里得空間的開集，赫爾德空間C^n,α(Ω)所包含的函數，是直到n階微分都適合指數α的赫爾德條件。這是拓撲向量空間，可以定義半範數：

$| f |_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha},$

對$n\geq 0$，下式給出範數：

$\| f \|_{C^{n, \alpha}} = \|f\|_{C^n}+\max_{| \beta | = n} | D^\beta f |_{C^{0,\alpha}}$

其中β涵蓋所有多重指標，而

$\|f\|_{C^n}=\max_{| \beta | \leq n}\sup_{x\in\Omega} |D^\beta f (x)|$

$C^{0,\alpha}({\mathbb R})$的例子

• 如果$0<\alpha\leq\beta\leq1$，那麼所有C^0,β赫爾德連續函數都是C^0,α赫爾德連續的。這也包括了β = 1，所以所有利普希茨連續函數都是C^0,α赫爾德連續。

• 在[0,3]上定義函數$f(x)=\sqrt{x}$，f不是利普希茨連續；但對$\alpha\le\frac12$，f是C^0,α赫爾德連續。