超几何函数

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在数学中,高斯超几何函数普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数,很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点英语Regular singular point的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数[编辑]

c不是0,-1,-2...时,对于|z| < 1,超几何函数可用如下幂级数定义

\,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)} \over c^{(n)}} \, {z^n \over n!}

其中 \ x^{(n)}Pochhammer符号,定义为:

q^{(n)} = \left\{
 \begin{array}{ll}
  1                     & \mbox{if } n = 0 \\
  q(q+1) \cdots (q+n-1) & \mbox{if } n > 0
 \end{array}
\right .

ab0或负整数时级数只有有限项。

对于满足|z| ≥ 1 的复数z,超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点01的任意路径做解析延拓来得到。

特殊情形[编辑]

很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来,一些典型的例子如下:

\ln(1+z)= z\,_2F_1(1,1;2;-z).

(1-z)^{-a}  = \,_2F_1(a,1;1;z)

\arcsin z = z \,_2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\right)

合流超几何函数(Kummer函数)可以用超几何函数的极限表示如下

M(a,c,z) = \lim_{b\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;b^{-1}z)

因此,所有合流超几何函数的特例,例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数英语Legendre function是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解,可以用以不同的形式用超几何函数表示,例如

{}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)

很多多项式,例如贾可比多项式 P(α,β)
n
及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

{}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x) 其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式

椭圆模函数英语Elliptic modular function有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如,若

 \tau = {\rm{i}}\frac{{}_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z)}{{}_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)}

 z = \kappa^2(\tau) = \frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}

τ的椭圆模函数.

不完整的beta函数 Bx(p,q) 表示成

 B_x(p,q) = \frac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x)

完整的椭圆积分 KE 如下给出

K(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)
E(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)

超几何方程[编辑]

超几何函数满足的微分方程称为超几何方程,其形式为(参见广义超几何函数)

z\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a\right)\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + c-1\right)w,\quad w(z)={}_2F_1(a,b;c;z).

展开后,得

z(1-z)\frac {\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {\mathrm dw}{\mathrm dz} - abw = 0.

它有三个正则奇点:0, 1, ∞.

正则奇点 0 附近的解[编辑]

超几何方程的指标方程英语Frobenius method

\rho(\rho-1)+c\rho=0

它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c

c不是整数时,超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为:

 \, _2F_1(a,b;c;z) \text{ and } z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)

c 为 1 时,方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时,另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上,当 c 为整数时,另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数

 \, _2F_1(a,b;c;z) \text{ and } \, G^{2,0}_{2,2}(1-a,1-b;0,c-1;z), \text{ if } c\in\mathbb Z^+
 \, z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z) \text{ and } \, G^{2,0}_{2,2}(1-a,1-b;0,1-c;z), \text{ if } c\in\mathbb Z_0^-

正则奇点 1 附近的解[编辑]

只需作代换 t=1-z,方程变为:

t(1-t)\frac {d^2w}{dt^2} + \left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right] \frac {dw}{dt} - abw = 0.

a+b-c 不是整数时,两个线性无关的正则特解为:

 \, _2F_1(a,b;1+a+b-c;1-z) \text{ and } (1-z)^{c-a-b} \, _2F_1(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)

正则奇点 ∞ 附近的解[编辑]

a-b 不是整数时,两个线性无关的正则特解为:

 z^{-a}\, _2F_1 \left (a,1+a-c;1+a-b; z^{-1} \right) \text{ and } z^{-b}\, _2F_1 \left (b,1+b-c;1+b-a; z^{-1} \right ).

李代数参数与连接关系[编辑]

在讨论超几何方程的解的连接关系的时候,采用另外一套参数[1]会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

F_{\alpha,\beta,\mu}(z)={}_2F_1(a,b;c;z)
\alpha=c-1,\beta=a+b-c,\mu=b-a
a=\frac{1+\alpha+\beta-\mu}2,b=\frac{1+\alpha+\beta+\mu}2,c=1+\alpha

参数 α,β,γ 称为李代数参数。

运用李代数参数,超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为:

\text{At }0: F_{\alpha,\beta,\mu}(z) \text{ and } z^{-\alpha}F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)
\text{At }1: F_{\beta,\alpha,\mu}(1-z) \text{ and } (1-z)^{-\beta}F_{-\beta,\alpha,-\mu}(1-z)
\text{At }\infty: (-z)^{\frac{-1-\alpha-\beta+\mu}2}F_{-\mu,\beta,-\alpha}(z^{-1}) \text{ and } (-z)^{\frac{-1-\alpha-\beta-\mu}2}F_{\mu,\beta,\alpha}(z^{-1})

从上面的表达式可见,李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号:

G(m;n,p)=\frac{\pi}{\sin m\pi\Gamma(n)\Gamma(p)}=G(m;p,n)
\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)=\frac 1{\Gamma(1+\alpha)}F_{\alpha,\beta,\mu}(z)

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为:

\mathbf F_{\beta,\alpha,\mu}(1-z)=
G(-\alpha;a-\alpha,b-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;a,b)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z),
\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta}\mathbf F_{-\beta,\alpha,-\mu}(1-z)&=&
G(-\alpha;1-a,1-b)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;b-\beta,a-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)\\
&=&G(-\alpha;1-a,1-b)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;1-(a-\alpha),1-(b-\alpha))z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z);
\end{array}
(-z)^{-a}\mathbf F_{-\mu,\beta,-\alpha}(z^{-1})=
G(-\alpha;1-b,a-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;a,a-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z),
\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf F_{\mu,\beta,\alpha}(z^{-1})&=&
G(-\alpha;1-a,b-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;b,b-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)\\
&=&G(-\alpha;1-a,1-(a-\beta))\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)
+G(\alpha;b,1-(a-\alpha))z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z).\end{array}

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分,可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表,上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示[编辑]

\Beta(a,c-a){}_2F_1(a,b;c;z)=\int_1^\infty t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0, |\arg(1-z)|<\pi

式中的 Β 是beta函数

证明[编辑]

可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质,可以确定它的具体形式。

p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^2p(a,b,c;t,z);

\frac{\partial w}{\partial z}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)
\begin{array}{cl}
&z(1-z)\frac {\partial^2w}{\partial z^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {\partial w}{\partial z} - abw\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^2\right\}\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^2+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\
=&b\frac{\partial}{\partial t}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],
\end{array}

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分,等号右边为 0,于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面,利用二项式定理,积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数,故可知等号右边应取 C 2F1(a,b,c;z) 的形式(因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数),其中 C 为待定的常数。

对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义,即可确定常数 C

变换公式[编辑]

分式线性变换[编辑]

Pfaff 变换[编辑]

Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换(也就是将李代数参数中的 βμ 对换):

{}_2F_1(a,b;c;z)  =(1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1}),\quad |\arg(1-z)|<\pi

a,b 的对称性自然有:

{}_2F_1(a,b;c;z)  =(1-z)^{-a} \, {}_2F_1(a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1}),\quad |\arg(1-z)|<\pi
证明[编辑]

Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上,令

u=\tfrac z{z-1}=1+\tfrac1{z-1}

z=\tfrac u{u-1},\quad (1-z)^a=(1-u)^{-a},\quad \tfrac{\mathrm du}{\mathrm dz}=-(1-u)^2
,\quad \tfrac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}=-(1-u)^3
\begin{array}{cl}&z(1-z)\tfrac {\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}[(1-z)^{-b}w]
+ \left[c-(a+b+1)z \right] \tfrac {\mathrm d}{\mathrm dz}[(1-z)^{-b}w] - ab(1-z)^{-b}w\\
=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}]
+[c-(a+b+1)z][b+(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}]-ab(1-z)\right\}w\\
=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a-b+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+b(c-a)\right\}w\\
=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+2u\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}
-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}+b(c-a)\right\}w\\
=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+[c-(c-a+b+1)u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}-b(c-a)\right\}w
\end{array}

w={}_2F_1(c-a,b;c;u)

w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0,再考虑函数 (1-z)-bw(z)z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Euler 变换[编辑]

Pfaff 变换可以导出 Euler 变换,它将李代数参数 β 变成 -β

\begin{array}{rcl}{}_2F_1(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \frac{z}{z-1})\\
&=&(1-z)^{-b}\left(1-\frac z{z-1}\right)^{a-c} \, {}_2F_1\left(c-a,c-b;c;\frac{\frac z{z-1}}{\frac z{z-1}-1}\right)\\
&=&(1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi
\end{array}

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子,这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系,参见莫比乌斯变换

上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来,就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(α,β,μ),(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数(Fα,β,μ 恒等于 Fα,β,),利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换,它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为:

F_{\alpha,\beta,\mu}\xrightarrow{\text{Pfaff}}F_{\alpha,\mu,\beta}
\equiv F_{\alpha,\mu,-\beta}\xrightarrow{\text{Pfaff}}F_{\alpha,-\beta,\mu}

二次变换[编辑]

下面是一个二次变换的例子:

{}_2F_1(a,b;2a;z)=(1-z)^{-\tfrac b2}\,_2F_1(a-\tfrac b2,\tfrac b2;a+\tfrac12;\tfrac {z^2}{4z-4}),\quad |\arg(1-z)|<\pi

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系(一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合)。

证明[编辑]

仿照上面 Pfaff 变换的证明,有:

\begin{array}{cl}&z(1-z)\tfrac {\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}[(1-z)^{-\tfrac b2}w]
+ \left[c-(a+b+1)z \right] \tfrac {\mathrm d}{\mathrm dz}[(1-z)^{-\tfrac b2}w] - ab(1-z)^{-\tfrac b2}w\\
=&(1-z)^{-\tfrac b2-1}\left\{z[\tfrac b2(\tfrac b2+1)+b(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}]
+[c-(a+b+1)z][\tfrac b2+(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}]-ab(1-z)\right\}w\\
=&(1-z)^{-\tfrac b2-1}\left\{z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b4[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\
\end{array}

c=2a,\quad u=\tfrac {z^2}{4z-4}=\tfrac14 (z+1-\tfrac 1{1-z})

 1-u=\tfrac{(z-2)^2}{4(1-z)},\quad\tfrac{\mathrm du}{\mathrm dz}=\tfrac{z(z-2)}{4(1-z)^2},\quad
\tfrac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}=-\tfrac{1}{2(1-z)^3}
\begin{array}{cl}&z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b4[2(c-2a)+(2a-b)z]\\
=&z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[2a-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b2(a-\tfrac b2)z\\
=&\tfrac{z^3(z-2)^2}{16(1-z)^2}\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}-\tfrac z{2(1-z)}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}
+\tfrac{z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}+\tfrac b2(a-\tfrac b2)z\\
=&-z\left\{u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+[a+\tfrac12-(a+1)u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}-\tfrac b2(a-\tfrac b2)\right\}
\end{array}

w=\,{}_2F_1(a-\tfrac b2,\tfrac b2;a+\tfrac12;u)

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论,可得二次变换的公式。

其它例子[编辑]

运用李代数参数,一般的二次变换可以表示为

F_{\alpha,\beta,\mu}(z)=f(z)F_{\alpha',\beta',\mu'}(g(z)),\quad P(z)

其中 f(z),g(z) 是 z 的函数, P(z) 表示 z 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

李代数参数(左) 李代数参数(右) f(z) g(z) P(z)
\alpha,\mu,\mu \tfrac\alpha2,\mu,\tfrac12 (1-\tfrac12z)^{-b} \left(\tfrac{z}{2-z}\right)^2 |\arg(1-z)|<\pi
\mu,\beta,\mu \mu,\tfrac\beta2,\tfrac12 (1+z)^{-b} \tfrac{4z}{(1+z)^2} |z|<1
\alpha,\alpha,\mu \alpha,\tfrac\mu2,\tfrac12 (1-2z)^{-b} \tfrac{4z(z-1)}{(1-2z)^2} \Re z<\tfrac12

另外还有:

\tfrac{2\Gamma(\tfrac 12)\Gamma(\tfrac{a+b+1}2)}{\Gamma(\tfrac{a+1}2)\Gamma(\tfrac{b+1}2)}F_{-\tfrac12,\beta,\tfrac\mu2}(z)=
F_{\beta,\beta,\mu}\left(\tfrac12-\tfrac12\sqrt z\right)+F_{\beta,\beta,\mu}\left(\tfrac12+\tfrac12\sqrt z\right),\quad 
|\arg z|<\pi,|\arg (1-z)|<\pi

将它们与 Kummer 表组合起来,就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

三次及高次变换[编辑]

若一组李代数参数满足下列条件:有两个是 ±1/3,或者三个参数的绝对值相等,则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)

特殊值[编辑]

z=0[编辑]

{}_2F_1(a,b;c;0)=1

z=1[编辑]

{}_2F_1(a,b;c;1)=\tfrac{\Beta(a,c-a-b)}{\Beta(a,c-a)}=\tfrac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)},
\quad \Re(c)>\Re(a+b)

这称为高斯原理(Gauss's theorem),可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

z=-1[编辑]

{}_2F_1 (a,b;1+a-b;-1)= \frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+\tfrac12a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+\tfrac12a-b)}

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换,并利用 z=1 时的特殊值得到。

z=1/2[编辑]

_2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}.
_2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}.

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换,并利用 z=1 时的特殊值得到。

参考文献[编辑]

  • ^ Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113.