超几何函数

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在数学中,高斯超几何函数普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数,很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点英语Regular singular point的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数[编辑]

c不是0,-1,-2...时,对于|z| < 1,超几何函数可用如下幂级数定义

\,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)} \over c^{(n)}} \, {z^n \over n!}

其中 \ x^{(n)}Pochhammer符号,定义为:

q^{(n)} = \left\{
 \begin{array}{ll}
  1                     & \mbox{if } n = 0 \\
  q(q+1) \cdots (q+n-1) & \mbox{if } n > 0
 \end{array}
\right .

ab0或负整数时级数只有有限项。

对于满足|z| ≥ 1 的复数z,超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点01的任意路径做解析延拓来得到。


特殊情形[编辑]

很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来,一些典型的例子如下:

\ln(1+z)= z\,_2F_1(1,1;2;-z).

(1-z)^{-a}  = \,_2F_1(a,1;1;z)

\arcsin z = z \,_2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\right)

合流超几何函数(Kummer函数)可以用超几何函数的极限表示如下

M(a,c,z) = \lim_{b\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;b^{-1}z)

因此,所有合流超几何函数的特例,例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数英语Legendre function是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解,可以用以不同的形式用超几何函数表示,例如

{}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)

很多多项式,例如贾可比多项式 P(α,β)
n
及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

{}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x) 其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式

椭圆模函数英语Elliptic modular function有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如,若

 \tau = {\rm{i}}\frac{{}_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z)}{{}_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)}

 z = \kappa^2(\tau) = \frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}

τ的椭圆模函数.

不完整的beta函数 Bx(p,q) 表示成

 B_x(p,q) = \frac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x)

完整的椭圆积分 KE 如下给出

K(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)
E(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)

外部链接[编辑]