超几何分布

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超几何分布
參數 \begin{align}N&\in 0,1,2,\dots \\
                                 m&\in 0,1,2,\dots,N \\
                                 n&\in 0,1,2,\dots,N\end{align}\,
支撑集 \scriptstyle{k\, \in\, \max{(0,\, n+m-N)},\, \dots,\, \min{(m,\, n )}}\,
概率質量函數 {{{m \choose k} {{N-m} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}
期望值 n m\over N
眾數 \left \lfloor \frac{(n+1)(m+1)}{N+2} \right \rfloor
方差 n(m/N)(1-m/N)(N-n)\over (N-1)
偏度 \frac{(N-2m)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}
峰度

 \left[\frac{N^2(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}\right] \cdot\left[\frac{N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}\right.

+\left.\frac{3n(N-n)(N+6)}{N^2}-6\right]
動差生成函數 \frac{{N-m \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -m; N - m - n + 1; e^{t}) } }
                         {{N \choose n}}  \,\!
特性函数 \frac{{N-m \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -m; N - m - n + 1; e^{it}) }}
{{N \choose n}}

超幾何分布統計學上一種離散概率分布。它描述了由有限個物件中抽出n個物件,成功抽出指定種類的物件的个數(不歸還)。

例如在有N個樣本,其中m個是不及格的。超幾何分布描述了在該N個樣本中抽出n個,其中k個是不及格的的機率:

 f(k;n,m,N) = {{{m \choose k} {{N-m} \choose {n-k}}}\over {N \choose n}}.

上式可如此理解:\tbinom{N}{n}表示所有在N個樣本中抽出n個的方法數目。\tbinom{m}{k} 表示在m個樣本中,抽出k個的方法數目。剩下來的樣本都是及格的,而及格的樣本有N-m個,剩下的抽法便有\tbinom{N-m}{n-k}種。

若n=1,超幾何分布還原為伯努利分布

若N接近∞,超幾何分布可視為二項分布

例子:

记号[编辑]

若随机变量\mathit{X}服从参数为\mathit{n}\mathit{M}\mathit{N}的超几何分布,则记为X \sim H(n,M,N).