超現實數

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基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

數學上,超現實數系統是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域[1]。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域實數域有理函數域列維-奇維塔域(Levi-Civita field)、上超實數域超實數域等,全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數

超現實數是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納(Donald Knuth)在他的書《研究之美》[2][3][4]中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,唐納德造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

暫譯術語[编辑]

  • 超現實數(Surreal)
  • 無窮量(Infinitesimal)
  • 格羅滕迪克宇集

參考資料[编辑]

  1. ^ 但當初在使用馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論來建立超現實數理論時,全體超現實數並不構成集合,而只構成真類,因此使用「」(field)此一術語看來不甚精確;在嚴格區分集合和真類顯然重要時,有些作者會使用首字母大寫的「Field」或全大寫的「FIELD」來指稱那些其實是真類,但又具有域的算術性質的對象。暫時可稱作「琙」(音同域)或「真類域」。如想得到一個真正的、作為集合的域,可以把構造限制在格羅滕迪克宇集中,這樣的話就得到一個集合,其基數為一種強不可達基數;又或者使用另一種形式的集合論,在其中,任何超限遞歸構造總要在可數序數(比如\varepsilon_0,即en:Epsilon nought)處停下。
  2. ^ 《研究之美》(Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness)
  3. ^ Surreal number正式中文譯名尚未出現,但英語Surreal一詞與Surrealism聯系起來的話,在中文裡後者譯為「超現實主義」,因此「超現實數」便作為surreal number的可能譯名。
  4. ^ 現在本書的中文譯文已經在大陸出版,見http://www.china-pub.com/static/zt_mb/zt_huodong_07.asp?filename=jsj_yjzm_120116