超過剩數

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超過剩數superabundant number,有時會簡稱SA)是指一正整數n,對於所有較小的正整數m,下式恆成立:

\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n}

其中σ為除數函數,是所有正因數(包括本身)的和。

頭幾個超過剩數為: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... (OEIS中的数列A004394).

超過剩數是萊昂尼達斯·Alaoglu英语Alaoglu保羅·艾狄胥在1944年定義的[1]。不過早在1919年時拉馬努金就有30頁的論文《Highly Composite Numbers》有關此一主題,但當時沒有發表,最後在1997年的拉馬努金期刊(Ramanujan Journal) 1中出版(第119至153頁),此論文的第59段定義了廣義的高合成數,其中也包括了超過剩數。

性質[编辑]

Alaoglu及保羅·艾狄胥證明若n為超過剩數,則存在ia1, a2, ..., ai使得下式成立[1]

n=\prod_{l=1}^i (p_l)^{a_l}

其中pl為第l個質數,而且

a_1\geq a_2\geq\dotsb\geq a_i.

換句話說,若n為超過剩數,n的因數分解的幂次會由前往後的遞減,因數分解越前面的質因數越小,但其幂次會越大。

事實上,除了n為4或36的特例外,ai(最大質因數的幂次)均為1。

超過剩數和高合成數之間有關,但不是所有的超過剩數都是高合成數。事實上只有 449個整數恰好超過剩數及高合成數。例如7560是高合成數,但不是超過剩數。Alaoglu及保羅·艾狄胥發現所有的超過剩數都是高過剩數,但不是所有的高過剩數都是超過剩數。也不是所有的超過剩數都是哈沙德數(可以被數字和整除的整數),第一個例外是第105個高過剩數149602080797769600,其數字和為81,但這個高過剩數無法被81整除。

超過剩數受人注意的另一原因是和黎曼猜想有關,根據羅賓定理,黎曼猜想等於以下的式子:

\frac{\sigma(n)}{e^\gamma n\log\log n} < 1

針對所有大於已知最大例外值的正整數n,而已知最大例外值為超過剩數5040,若存在另外一些較大的數使得黎曼猜想不成立,則這些反例的最小值一定是另一個超過剩數[2]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Alaoglu, Leonidas; Erdős, Paul, On highly composite and similar numbers, Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society), 1944, 56 (3): 448–469, doi:10.2307/1990319, JSTOR 1990319 .
  2. ^   Akbary, Amir; Friggstad, Zachary, Superabundant numbers and the Riemann hypothesis, American Mathematical Monthly, 2009, 116 (3): 273–275, doi:10.4169/193009709X470128 

外部連結[编辑]