轉動慣量

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在實驗室中用於測定物體之轉動慣量的器具。

在古典力學中，轉動慣量又稱慣性矩，通常以 I 表示，國際單位制基本單位為[kg]·[m2]。轉動慣量用以描述一個物體對於其旋轉運動的改變的對抗，是一個物體對於其旋轉運動的慣性。轉動慣量在旋轉動力學中的角色相當於線性動力學中的質量，描述角動量、角速度、力矩和角加速度等數個量之間的關係。

對於一個質點，I=mr^2，其中 m 是其質量，r 是質點和轉軸的垂直距離。

對於一個有多個質點的系統，I = \sum_{i=1}^N {m_i r_i^2}。

若該系統由剛體組成，可以用無限個質點的轉動慣量和，即用積分計算其轉動慣量，I = \int {\rho r^2}dV，其中\rho是密度，dV是体积元。

如果一個質量為 m 的物件，以某條經過 A 點的直線為軸，其轉動慣量為 I_A。在空間取點 B，使得 AB 垂直於原本的軸。那麼如果以經過 B、平行於原本的軸的直線為軸，AB 的距離為 d，則 I_B = I_A + md^2。

目录

應用[编辑]

力矩[编辑]

在直線運動，F=ma。在旋轉運動，則有{\tau} = I{\alpha}，其中{\tau}是力矩，{\alpha}是角加速度。

動能[编辑]

一般物件的動能是K=\frac{1}{2} mv^2。將速度v和質量m，用轉動力學的定義取代：

v = \omega r \,
m = \frac{I}{r^2}

得出

K = \frac{1}{2} \left(\frac{I}{r^2}\right) (\omega r)^2，

簡化得

K = \frac{1}{2} I \omega^2。

如果一個人坐在一張可轉動的椅子，雙手拿重物，張開雙手，轉動椅子，然後突然將手縮到胸前，轉動的速度將突然增加，因為轉動慣量減少了。

慣性張量[编辑]

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角坐標系 Qxyz ，一個剛體的慣性張量 \mathbf{I}\,\! 是

\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\,\! 。(1)

這裏，矩陣的對角元素 I_{xx}\,\! 、I_{yy}\,\! 、I_{zz}\,\! 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的轉動慣量。設定 (x,\ y,\ z)\,\! 為微小質量 dm\,\! 對於點 Q 的相對位置。則這些轉動慣量以方程式定義為

I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ y^2+z^2\ dm\,\! ，
I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+z^2\ dm\,\! ，(2)
I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+y^2\ dm\,\! 。

矩陣的非對角元素，稱為慣量積, 以方程式定義為

I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\! ，
I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\! ，(3)
I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\! 。

導引[编辑]

圖 A

如圖 A ，一個剛體對於質心 G 與以點 G 為原點的直角座標系 Gxyz 的角動量 \mathbf{L}_G\,\! 定義為

\mathbf{L}_G=\int\ \mathbf{r}\times\mathbf{v}\ dm\,\! 。

這裏，\mathbf{r}\,\! 代表微小質量 dm\,\! 在 Gxyz 座標系的位置，\mathbf{v}\,\! 代表微小質量的速度。因為速度是角速度 \boldsymbol{\omega}\,\! 叉積位置，所以，

\mathbf{L}_G=\int\ \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})\ dm\,\! 。

計算 x-軸分量，

\begin{align} L_{Gx} &= \int\ y(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})_z - z(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})_y\ dm\\ &=\int\ y\omega_x y - y\omega_y x+z\omega_x z - z\omega_z x\ dm\\ &=\int\ \omega_x(y^2+z^2) - \omega_y xy - \omega_z xz\ dm\\ &=\omega_x\int\ y^2+z^2\ dm - \omega_y\int\ xy\ dm - \omega_z \int\ xz\ dm\ . \end{align}\,\!

相似地計算 y-軸與 z-軸分量，角動量為

L_{Gx}=\omega_x\int\ y^2+z^2\ dm - \omega_y\int\ xy\ dm - \omega_z\int\ xz\ dm \,\! ，
L_{Gy}= - \omega_x\int\ xy\ dm+\omega_y\int\ x^2+z^2\ dm - \omega_z \int\ yz\ dm \,\! ，
L_{Gz}= - \omega_x\int\ xz\ dm - \omega_y\int\ yz\ dm+\omega_z\int\ x^2+y^2\ dm\,\! 。

如果，我們用方程式 (1) 設定對於質心 G 的慣性張量 \mathbf{I}_G\,\! ，讓角速度 \boldsymbol{\omega}\,\! 為 (\omega_x\;,\;\omega_y\;,\;\omega_z)\,\! ，那麼，

\mathbf{L}_G=\mathbf{I}_G\ \boldsymbol{\omega}\,\! 。(4)

平行軸定理[编辑]

主条目：平行軸定理

平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 \mathbf{I}_G\,\! ，而質心 G 的位置是 (\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\! ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 \mathbf{I}\,\! ，依照平行軸定理，可以表述為

I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\! ，
I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\! ，(5)
I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\! ，
I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\! ，
I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\! ，(6)
I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\! 。

證明：

圖 B

a) 參考圖 B ，讓 (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\! 、(x,\ y,\ z)\,\! 分別為微小質量 dm\,\! 對質心 G 與原點 O 的相對位置：

y=y\,'+\bar{y}\,\! ，z=z\,'+\bar{z}\,\! 。

依照方程式 (2)，

I_{G,xx}=\int\ y\,'\,^2+z\,'\,^2\ dm\,\!
I_{xx}=\int\ y^2+z^2\ dm\,\! 。

所以，

\begin{align} I_{xx}&=\int\ (y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2\ dm\\ &=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\ . \\ \end{align}\,\!

相似地，可以求得 I_{yy}\,\! 、I_{zz}\,\! 的方程式。

b) 依照方程式 (3)，

I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\! 。
I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\! 。

因為 x=x\,'+\bar{x}\,\! ，y=y\,'+\bar{y}\,\! ，所以

\begin{align} I_{xy}&= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm \\ &=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\ . \\ \end{align}\,\!

相似地，可以求得對於點 O 的其他慣量積方程式。

對於任意軸的轉動慣量[编辑]

圖 C

參視圖 C ，設定點 O 為直角座標系的原點，點 Q 為三維空間裏任意一點，Q 不等於 O 。思考一個剛體，對於 OQ-軸的轉動慣量是

I_{OQ}\ =\int\ \rho^2 \ dm\ =\ \int \ \left| \boldsymbol{\eta}\times\mathbf{r}\right|^2 \ dm\,\! 。

這裏，\rho\,\! 是微小質量 dm\,\! 離 OQ-軸的垂直距離，\boldsymbol{\eta}\,\! 是沿著 OQ-軸的單位向量，\mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\! 是微小質量 dm\,\! 的位置。

展開叉積，

I_{OQ}=\int\ (\eta_yz - \eta_zy)^2+(\eta_xz - \eta_zx)^2+(\eta_xy - \eta_yx)^2\ dm\,\! 。

稍微加以編排，

\begin{align} I_{OQ}= & \eta_x^2\int\ y^2+z^2\ dm+\eta_y^2\int\ x^2+z^2\ dm+\eta_z^2\int\ x^2+y^2\ dm \\ & - 2\eta_x\eta_y\int\ xy\ dm - 2\eta_x\eta_z\int\ xz\ dm - 2\eta_y\eta_z\int\ yz\ dm\ .\\ \end{align}\,\!

特別注意，從方程式(2)、(3)，這些積分項目，分別是剛體對於 x-軸、y-軸、z-軸的轉動慣量與慣量積。因此，

I_{OQ}=\eta_x^2I_{xx}+\eta_y^2I_{yy}+\eta_z^2I_{zz}+2\eta_x\eta_yI_{xy}+2\eta_x\eta_zI_{xz}+2\eta_y\eta_zI_{yz}\,\! 。(7)

如果已經知道，剛體對於直角座標系的三個座標軸，x-軸、y-軸、z-軸的轉動慣量。那麼，對於 OQ-軸的轉動慣量，可以用此方程式求得。

主轉動慣量[编辑]

因為慣性張量 \mathbf{I}\,\! 是個實值的三維對稱矩陣，我們可以用對角線化，將慣量積變為零，使慣性張量成為一個對角矩陣[1]。所得到的三個特徵值必是正實值；三個特徵向量必定互相正交。

換另外一種方法，我們需要解析特徵方程式

\mathbf{I}\ \boldsymbol{\omega}=\lambda\;\boldsymbol{\omega}\,\! 。(8)

也就是以下行列式等於零的的三次方程式：

\mathbf{I} = \begin{vmatrix} I_{xx} - \lambda & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} - \lambda & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} - \lambda \end{vmatrix}\,\! 。

這方程式的三個根 \lambda_1\,\! 、\lambda_2\,\! 、\lambda_3\,\! 都是正實的特徵值。將特徵值代入方程式 (8)，再加上方向餘弦方程式，

\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2=1\,\! ，

我們可以求到特徵向量 \hat{\boldsymbol{\omega}}_1\,\! 、\hat{\boldsymbol{\omega}}_2\,\! 、\hat{\boldsymbol{\omega}}_3\,\! 。這些特徵向量都是剛體的慣量主軸；而這些特徵值則分別是剛體對於慣量主軸的主轉動慣量。

假設 x-軸、y-軸、z-軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主轉動慣量分別為I_{x}\,\! 、I_{y}\,\! 、I_{z}\,\! ，角速度是 \boldsymbol{\omega}\,\! 。那麼，角動量為

\mathbf{L}=(I_x\omega_x\;,\;I_y\omega_y\;,\;I_z\omega_z)\,\! 。

動能[编辑]

剛體的動能 K\,\! 可以定義為

K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}\int\ v^2\ dm\,\! ，

這裏，\bar{v}\,\! 是剛體質心的速度，v\,\! 是微小質量 dm\,\! 相對於質心的速度。在方程式裏，等號右邊第一個項目是剛體平移運動的動能，第二個項目是剛體旋轉運動的動能 K\,\!'\,\! 。由於這旋轉運動是繞著質心轉動的，

K\,\!'=\frac{1}{2}\int\ (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\ dm\,\! 。

這裏，\boldsymbol{\omega}\,\! 是微小質量 dm\,\! 繞著質心的角速度，\mathbf{r}\,\! 是 dm\,\! 對於質心的相對位置。 因此，

K\,\!'=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}\cdot \int\ \mathbf{r}\times (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\ dm =\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega}\ \mathbf{L}\,\! 。

或者，

K\,\!'=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\ \mathbf{I}\ \boldsymbol{\omega}\,\! 。

所以，

K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}(I_{xx}{\omega_x}^2+I_{yy}{\omega_y}^2+I_{zz}{\omega_z}^2+2I_{xy}\omega_x\omega_y+2I_{xz}\omega_x\omega_z+ 2I_{yz}\omega_y\omega_z)\,\! 。(9)

假設 x-軸、y-軸、z-軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主轉動慣量分別為I_{x}\,\! 、I_{y}\,\! 、I_{z}\,\! ，角速度是 \boldsymbol{\omega}\,\! 。那麼，剛體的動能為

K=\frac{1}{2}m\bar{v}^2+\frac{1}{2}(I_{x}{\omega_x}^2+I_{y}{\omega_y}^2+I_{z}{\omega_z}^2)\,\! 。(10)

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ O'Nan, Michael. Linear Algebra. USA: Harcourt Brace Jovanovich, Inc. 1971: pp。 361. ISBN 0-15-518558-6 （英文）. 
  • Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部連結[编辑]
表述形式
基础概念
重要理论
应用
科学史
分支

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