转置矩阵

在线性代数中，矩阵A的转置是另一个矩阵A^T（也写做A^tr, ^tA或A′）由下列等价动作建立:

• 把A的横行写为A^T的纵列
• 把A的纵列写为A^T的横行

形式上说，m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

$A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji}$ for $1 \le i \le n,$ $1 \le j \le m$。

注意：$\mathbf{A}^{T}$（轉置矩陣）與$\mathbf{A}^{-1}$（逆矩陣）不同。

例子

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

性质

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质:

• $\left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad$，

转置是自身逆运算。

• $(A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}$，

转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射。

• $\left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}$，

注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A是可逆矩阵，当且仅当A^T是可逆矩阵，在这种情况下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。

• $(c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T}$，

标量的转置是同样的标量。

• $\det(A^\mathrm{T}) = \det(A)$，

矩阵的转置矩阵的行列式同于这个矩阵的行列式。

• 两个纵列向量a和b的点积可计算为

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$

• 如果A只有实数元素，则A^TA是正半定矩阵。
• 如果A是在某个域上，则A 相似于A^T。

特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵；就是说A是对称的，如果

$A^{\mathrm{T}} = A$。

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵；就是说G是正交的，如果

$G G^\mathrm{T} = G^\mathrm{T} G = I_n , \,$ I是单位矩阵。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵；就是A是斜对称的，如果

$A^{\mathrm{T}} = -A$。

复数矩阵A的共轭转置，写为A^H，是A的转置加上取每个元素的共轭复数:

$A^H = (\overline{A})^{\mathrm{T}} = \overline{(A^{\mathrm{T}})}$

线性映射的转置

如果f: V→W是在向量空间V和W之间非退化双线性形式的线性映射，我们定义f的转置为线性映射^tf : W→V，确定自

$B_V(v,{}^tf(w))=B_W(f(v),w) \quad \forall\ v \in V, w \in W$。

这裡的，B_V和B_W分别是在V和W上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要基是关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上，经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出，如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做埃尔米特伴随。

如果V和W没有双线性形式，则线性映射f: V→W的转置只能定义为在对偶空间W和V之间的线性映射 ^tf : W^*→V^*。

外部链接

• MIT Video Lecture on Matrix Transposes at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Transpose, mathworld.wolfram.com
• Transpose, planetmath.org