转置矩阵

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

线性代数中,矩阵A转置是另一个矩阵AT(也写做Atr, tAA′)由下列等价动作建立:

  • A的横行写为AT的纵列
  • A的纵列写为AT的横行

形式上说,m × n矩阵A的转置是n × m矩阵

A^\mathrm{T}_{ij} = A_{ji} for  1 \le i \le n, 1 \le j \le m

注意:\mathbf{A}^{T}(轉置矩陣)與\mathbf{A}^{-1}逆矩陣)不同。

例子[编辑]

  • \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \end{bmatrix}
  • \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

性质[编辑]

对于矩阵A, B和标量c转置有下列性质:

  • \left( A^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = A \quad
转置是自身逆运算
  • (A+B) ^\mathrm{T} = A^\mathrm{T} + B^\mathrm{T}
转置是从m × n矩阵的向量空间到所有n × m矩阵的向量空间的线性映射
  • \left( A B \right) ^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}
注意因子反转的次序。以此可推出方块矩阵A可逆矩阵,当且仅当AT是可逆矩阵,在这种情况下有 (A−1)T = (AT)−1。相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况,可得出 (ABC...XYZ)T = ZTYTXT...CTBTAT
  • (c A)^\mathrm{T} = c A^\mathrm{T}
标量的转置是同样的标量。
  • \det(A^\mathrm{T}) = \det(A)
矩阵的转置矩阵的行列式等于这个矩阵的行列式。
  • 两个纵列向量ab点积可计算为
 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},

特殊转置矩阵[编辑]

其转置等于自身的方块矩阵叫做对称矩阵;就是说A是对称的,如果

A^{\mathrm{T}} = A

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做正交矩阵;就是说G是正交的,如果

G G^\mathrm{T} = G^\mathrm{T} G = I_n , \, I单位矩阵

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做斜对称矩阵;就是A是斜对称的,如果

A^{\mathrm{T}} = -A

复数矩阵A共轭转置,写为AH,是A的转置后再取每个元素的共轭复数:

A^H = (\overline{A})^{\mathrm{T}} = \overline{(A^{\mathrm{T}})}

线性映射的转置[编辑]

如果f: VW是在向量空间V和W之间非退化双线性形式线性映射,我们定义f的转置为线性映射tf : WV,确定自

B_V(v,{}^tf(w))=B_W(f(v),w) \quad \forall\ v \in V, w \in W

这裡的,BVBW分别是在VW上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵,只要是关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上,经常用到半双线性形式来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义,转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出,如果基是正交的。在这种情况下,转置也叫做埃尔米特伴随

如果VW没有双线性形式,则线性映射f: VW的转置只能定义为在对偶空间WV之间的线性映射 tf : W*V*

外部链接[编辑]