辐角原理

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围道 C(黑色),f 的零点(蓝色)以及 f 的极点(红色)。

复分析中,辐角原理Argument principle)或称柯西辐角原理Cauchy's argument principle)说如果 f(z) 是在某个围道 C 上以及内部一个亚纯函数,且 fC 上没有零点极点,则下列公式成立

\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (N-P)

这里 NP 分别表示 f(z) 在围道 C 内部的零点与极点个数,每个零点计重数,极点计阶数。定理的陈述假设围道 C 是简单的,即没有自交,以及它是逆时针方向定向的。

更一般地,假设 C 是一条曲线,逆时针方向定向,在复平面中一个开集 Ω 中可缩为一点。对每个 z ∈ Ω,令 n(C,z) 是 C 绕点 z卷绕数。则

\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = 2\pi i \left(\sum_a n(C,a) - \sum_b n(C,b)\right),

这里第一个求和对 f 所有零点 a 进行并计重数,第二个求和在 f 的所有极点 b 上进行。

证明[编辑]

zNf 的一个零点。我们可将 f 写成 f(z) = (zzN)kg(z) 这里 k 是零点的重数,从而 g(zN) ≠ 0。我们有

f'(z)=k(z-z_N)^{k-1}g(z)+(z-z_N)^kg'(z)\,\!

以及

{f'(z)\over f(z)}={k \over z-z_N}+{g'(z)\over g(z)}.

g(zN) ≠ 0,故 g′(z)/g(z)在 zN 没有奇点,从而在 zN 解析,这意味着 f′(z)/f(z) 在 zN留数k

zPf 的一个极点。我们可写成 f(z) = (zzP)mh(z) 这里 m 是极点的阶数,从而 h(zP) ≠ 0。则

f'(z)=-m(z-z_P)^{-m-1}h(z)+(z-z_P)^{-m}h'(z)\,\!.

以及

{f'(z)\over f(z)}={-m \over z-z_P}+{h'(z)\over h(z)}

如上。故 h′(z)/h(z) 在 zP 没有奇点,因为 h(zP) ≠ 0 从而在 zP 解析。我们发现 f′(z)/f(z) 在 zP 的留数是 −m

将它们放在一起,f 的每个 k 重零点 zN 产生 f′(z)/f(z) 的一个留数为 k 的单极点,而 f 的每个 m 阶极点 zP 产生 f′(z)/f(z) 的一个留数为 −m 的单极点(这里一个单极点指一阶极点)。另外,可以证明 f′(z)/f(z) 没有其它极点,从而没有其它留数。

留数定理我们有关于 C 的积分是 2πi 与这些留数之和的乘积。总之,每个零点 zNk 之和是计重数的零点个数,对极点类似,故我们得到了欲证之结论。

推论[编辑]

假设 C 是一个以原点为中心的闭围道,通过考虑 f(z) 关于原点的卷绕数可得出一些推论。我们看到 f′(z)/f(z) 在 C 上的积分是 log f(z) 值的变化。因为 C 是闭的我们只需考虑 i arg f(z) 在 C 上的变化,它将是 2πi 的某个整数倍因为 C 是闭的(但可能绕原点卷多圈)。但从辐角原理

\oint_C {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (N-P)

约去因子 2\pi i,我们得到

N-P = I(C, 0)\,\!

这里 I(C,0) 表示 fC 上关于 0 点卷绕数。

一个推论是更广泛的定理,在同样的假设下,如果 g 是 Ω 中一个解析函数,则

 \frac{1}{2\pi i} \oint_C g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a)g(a) - \sum_b n(C,b)g(b).

例如,如果 f 是以一个简单围道 C 内部 z1, ..., zp 为零点的多项式,以及g(z) = zk,则

 \frac{1}{2\pi i} \oint_C z^k\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = z_1^k+z_2^k+\dots+z_p^k,

f 的根的幂和对称函数

另一个推论是如果我们计算复积分:

\oint_C f(z){g'(z) \over g(z)}\, dz,

对一个合适的 gf,我们有阿贝尔-普兰纳Plana)公式:

  \sum_{n=0}^{\infty}f(n)-\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx= f(0)/2+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\, dt ,

这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。

历史[编辑]

按照弗兰克·史密西斯一书(Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997)的说法,在奥古斯丁·路易·柯西从法国到都灵(当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都)的自我放逐途中,柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理(见177页)。但是根据此书,只提到了零点,没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表,故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中,零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量(compteurs logarithmiques,相当于现代教材中的对数留数)等于 Z 与 1/Z 根的个数之差(相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点)。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。

应用[编辑]

反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理,将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里·奈奎斯特1932年原理的论文(H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932)用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中,奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来,Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在,辐角原理可在复分析控制工程学的现代教材中都可以找到。

参考文献[编辑]

  • Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979年. 

外部链接[编辑]

相关条目[编辑]