辛普森積分法

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

辛普森法則(Simpson's rule)是一種數值積分方法,是牛顿-寇次公式的特殊形式,以二次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式,以求得定積分的數值近似解。其近似值如下:

 \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

該方法係由英格蘭湯馬士·辛普森所創立。

簡化公式[编辑]

V=\frac{h (a+4b+c)}{6}

  • h是立体(常指擬柱體)的高度
  • a是下底面积
  • b是中间截面面积(在一半高度上的截面面积)
  • c是上底面积
棱柱和圆柱(a=b=c

V=\frac{h (a+4b+c)}{6}=\frac{h \cdot 6a}{6}=ha(棱柱和圆柱的体积=底面积*高)

棱锥和圆锥(a=2b,c=0)

V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+\frac{4a}{4}+0)}{6}=\frac{ah}{3}

(棱锥和圆锥的面积=等底、等高的圆柱、棱柱体积的1/3)

圆台

V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{\pi h(R^2+Rr+r^2)}{3}

球体

V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{2R(0+4\pi R^2+0)}{6}=\frac{4\pi R^3}{3}

公式还可以用于计算平面形面积例如:平行四边形、梯形、三角形……

平行四边形(正方形、矩形等)

S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=ah

(平行四边形的面积等于底乘高)

梯形

S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+c)}{2}

三角形

S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{ah}{2}

参见[编辑]