辛普森積分法

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辛普森法則（Simpson's rule）是一種數值積分方法，是以二次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。其近似值如下：

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$

該方法係由英格蘭人湯馬士·辛普森所創立。

二次積分法

• 二次逼近 , for f(u)≠±∞ , u∈[x1,x2]

令 $g(x)=ax^{2}+bx+c$

其中

$g(x1) = f(x1)$

$g(\frac{x1+x2}{2}) = f(\frac{x1+x2}{2})$

$g(x2) = f(x2)$

• 辛普森積分法

$\lim_{x_{2} \rightarrow x_{1}}$$\int_{x1}^{x2} f(x)dx$ ≈ $\lim_{x_{2} \rightarrow x_{1}}$$\int_{x1}^{x2} g(x)dx$

=$\lim_{x_{2} \rightarrow x_{1}}$(($\frac{1}{3}ax_{2}^{3}+\frac{1}{2}bx_{2}^{2}+cx_{2}$) - ($\frac{1}{3}ax_{1}^{3}+\frac{1}{2}bx_{1}^{2}+cx_{1}$))

=$\lim_{x_{2} \rightarrow x_{1}}$$(x_{2}-x_{1})$$(\frac{1}{3}a(x_{2}^{2}+x_{2}x_{1}+x_{1}^{2})+\frac{1}{2}b(x_{2}+x_{1})+c)$

=$\frac{1}{3}(\frac{g(x1)+g(x2)}{2})(x2-x1)+\frac{2}{3}g(\frac{x1+x2}{2})(x2-x1)$

=$\frac{1}{3}(\frac{f(x1)+f(x2)}{2})(x2-x1)+\frac{2}{3}f(\frac{x1+x2}{2})(x2-x1)$ , for f(u)≠±∞ , u∈[x1,x2] 。

簡化之公式

$V=\frac{h (a+4b+c)}{6}$

• h是立体的高度
• a是下底面积
• b是中间截面面积（在一半高度上的截面面积）
• c是上底面积

棱柱和圆柱（$a=b=c$）

$V=\frac{h (a+4b+c)}{6}=\frac{h \cdot 6a}{6}=ha$(棱柱和圆柱的面积=底面积*高)

棱锥和圆锥（a=2b,c=0）

$V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+\frac{4a}{4}+0)}{6}=\frac{ah}{3}$

(棱锥和圆锥的面积=等底、等高的圆柱、棱柱体积的1/3)

圆台

$V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{\pi h(R^2+Rr+r^2)}{3}$

球体

$V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{2R(0+4\pi R^2+0)}{6}=\frac{4\pi R^3}{3}$

公式还可以用于计算平面形面积例如：平行四边形、梯形、三角形……

平行四边形（正方形、矩形等）

$S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=ah$

(平行四边形的面积等于底乘高)

梯形

$S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+c)}{2}$

三角形

$S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{ah}{2}$

参见

• 牛顿-寇次公式
• 数值积分