辛普森積分法

辛普森法則（Simpson's rule）是一種數值積分方法，是以二次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。其近似值如下：

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$

該方法係由英格蘭人湯馬士·辛普森所創立。

簡化之公式

$V=\frac{h (a+4b+c)}{6}$

• h是立体（常指擬柱體）的高度
• a是下底面积
• b是中间截面面积（在一半高度上的截面面积）
• c是上底面积

棱柱和圆柱（$a=b=c$）

$V=\frac{h (a+4b+c)}{6}=\frac{h \cdot 6a}{6}=ha$(棱柱和圆柱的体积=底面积*高)

棱锥和圆锥（a=2b,c=0）

$V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+\frac{4a}{4}+0)}{6}=\frac{ah}{3}$

(棱锥和圆锥的面积=等底、等高的圆柱、棱柱体积的1/3)

圆台

$V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{\pi h(R^2+Rr+r^2)}{3}$

球体

$V=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{2R(0+4\pi R^2+0)}{6}=\frac{4\pi R^3}{3}$

公式还可以用于计算平面形面积例如：平行四边形、梯形、三角形……

平行四边形（正方形、矩形等）

$S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=ah$

(平行四边形的面积等于底乘高)

梯形

$S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{h(a+c)}{2}$

三角形

$S=\frac{h(a+4b+c)}{6}=\frac{ah}{2}$

参见

• 牛顿-寇次公式
• 数值积分