辛矩陣

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在數學中，辛矩阵是指一個 $2n \times 2n$ 的矩阵 M（通常佈於實數或複數域上），使之滿足

$M^T \Omega M = \Omega\,.$

其中 $M^T$ 表 $M$ 的轉置矩陣，而 $\Omega$ 是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化後皆能表為

$\Omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix}$

或

$\Omega = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \end{bmatrix}$

兩者的差異僅在於基的置換，其中 $I_n$ 是 $n \times n$ 單位矩陣。此外，$\Omega$ 行列式值等於一，且其逆矩陣等於 $-\Omega$。

性質

凡辛矩阵皆可逆，其逆矩陣可表為

$M^{-1} = \Omega^{-1} M^T \Omega$

此外，辛矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域 $F$ 上的所有 $2n$ 階辛矩阵構成一個群，記為 $\mathrm{Sp}(2n,F)$。事實上它是 $\mathrm{GL}(2n,F)$ 的閉代數子群，其維度為 $n(2n+1)$。當 $F=\mathbb{R},\mathbb{C}$ 時，$\mathrm{Sp}(2n,F)$ 帶有自然的（複）李群結構。

由定義可知辛矩阵的行列式等於 $\pm 1$；事實上，可以利用 Pfaffian 的公式：

$\mbox{Pf}(M^T \Omega M) = \det(M)\mbox{Pf}(\Omega).$

由於 $M^T \Omega M = \Omega$、$\mbox{Pf}(\Omega) \neq 0$，遂導出 $det(M) = 1$。

當 $n=1$ 時，有 $\mathrm{Sp}(2)=\mathrm{SL}(2)$。換言之：二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

扭對稱變換

在線性代數的抽象框架裡，我們可以用偶數維向量空間 $V$ 上的線性變換取代偶數階矩陣，並固定一個非退化反對稱雙線性形 $\omega: V \times V \to F$ 以取代矩陣 $\Omega$（賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間），如此便得到與基底無關的定義：

定義. 一個扭對稱向量空間 $(V,\omega)$ 上的線性變換 $L: V \to V$ 若滿足

$\omega(Lu, Lv) = \omega(u, v).$

則稱 $L$ 為扭對稱變換。

考慮 $\eta := \wedge^{\frac{\dim V}{2}} \omega$，由於 $L^* (\omega)=\omega$，故 $L^*(\eta) = \eta$；另一方面， $L^* (\eta) = (\det L) \cdot \eta$，於是得到 $\det L = 1$。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定 $V$ 的一組基，藉此將 $L$ 寫成矩陣 $M$，並將 $\omega$ 表成斜對稱矩陣 $\Omega$，便回到先前的定義：

$M^T \Omega M = \Omega.$

參見

• 辛向量空間
• 辛群
• 辛表示
• 正交矩陣
• 酉矩陣
• 哈密頓力學
• 正則變換

外部連結

• PlanetMath上Symplectic matrix的資料。
• PlanetMath上The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial的資料。