辛群

在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為 Sp(2n,F) 與 Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

Sp(2n, F)

域 F 上次數為 2n 的辛群是由 2n 階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群，記為 Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是 SL(2n,F) 的子群。

抽象而言，辛群可定義為 F 上一個 2n 維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間 V 產生的辛群記為 Sp(V)。

當 n=1，有 Sp(2,F)=SL(2,F)，當 n>1 時，Sp(2n,F) 是 SL(2n,F) 的真子群。

通常將域 F 取為實數域 $\mathbb{R}$、複數域 $\mathbb{C}$ 或非阿基米德局部域，如p進數域 $\mathbb{Q}_p$。此時辛群 Sp(2n,F) 是維度等於 $n(2n+1)$ 的連通代數群。$\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 是單連通的，而 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ 的基本群則同構於 $\mathbb{Z}$。

$\mathrm{Sp}(2n,F)$ 的李代數可以刻劃為滿足下列條件的 2n 階方陣 $A$：

$\Omega A + A^T \Omega = 0$

其中 $A^T$ 表示 $A$ 的轉置矩陣，而 $\Omega$ 是下述反對稱矩陣

$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix}$

Sp(n)

緊辛群 $\mathrm{Sp}(n)$ 定義為 $\mathrm{H}^n$（$\mathbb{H}$ 表四元數）上保持標準埃爾米特形式

$\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n$

之可逆線性變換。換言之，$\mathrm{Sp}(n)$ 即四元數上的酉群 $\mathrm{U}(n,\mathbb{H})$。有時此群也被稱為超酉群。$\mathrm{Sp}(1)$ 即單位四元數構成之群，拓樸上同胚於三維球 $\mathbb{S}^3$。

$\mathrm{Sp}(n)$ 並不同構於之前定義的 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$。下節將解釋其間的聯繫。

$\mathrm{Sp}(n)$ 是 $n(2n+1)$ 維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

$Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C})$

其李氏代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

$A+A^{\dagger} = 0$

其中 $A^\dagger$ 是 $A$ 的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

辛群之間的關係

以上定義之 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ 與 $\mathrm{Sp}(n)$ 之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作 $C_n$。此李代數也就是複李群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 之李代數，記作 $\mathrm{sp}(2n,\mathbb{C})$。它有兩個不同的實形式：

1. 緊緻形式 $\mathrm{sp}(n)$，即 $\mathrm{Sp}(n)$ 之李代數。
2. 正規形式 $\mathrm{sp}(2n,\mathbb{R})$，即 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$。

辛群之間的關係

	矩陣	李群	dim/R	dim/C	緊緻	π1
Sp(2n, R)	R	實	n(2n + 1)	–	否	Z
Sp(2n, C)	C	複	2n(2n + 1)	n(2n + 1)	否	1
Sp(n)	H	實	n(2n + 1)	–	是	1

參見

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、扭對稱符號
• 哈密顿力学