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辛群

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李群
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群论
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數學中,辛群可以指涉兩類不同但關係密切的。在本條目中,我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法,通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

Sp(2n, F)[编辑]

域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群,記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一,此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言,辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1,有Sp(2,F)=SL(2,F),當n>1時,Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域\mathbb{R}、複數域\mathbb{C}或非阿基米德局部域,如p進數\mathbb{Q}_p。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於n(2n+1)的連通代數群\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})單連通的,而\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})基本群則同構於\mathbb{Z}

\mathrm{Sp}(2n,F)的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣A

\Omega A + A^T \Omega = 0

其中A^T表示A轉置矩陣,而\Omega是下述反對稱矩陣

\Omega =
\begin{pmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{pmatrix}

Sp(n)[编辑]

緊辛群\mathrm{Sp}(n)定義為\mathrm{H}^n\mathbb{H}四元數)上保持標準埃爾米特形式

\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n

之可逆線性變換。換言之,\mathrm{Sp}(n)即四元數上的酉群\mathrm{U}(n,\mathbb{H})。有時此群也被稱為超酉群。\mathrm{Sp}(1)即單位四元數構成之群,拓樸上同胚於三維球\mathbb{S}^3

\mathrm{Sp}(n)並不同構於之前定義的\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})。下節將解釋其間的聯繫。

\mathrm{Sp}(n)n(2n+1)維之緊緻、連通、單連通李群,並滿足

Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C})

李氏代數由滿足下述關係的n階四元數矩陣構成

A+A^{\dagger} = 0

其中A^\daggerA共軛轉置(在此取四元數之共軛運算)。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群\mathrm{Sp}(n)有时称为酉辛群,记为 \mathrm{USp}(2n)

辛群之間的關係[编辑]

以上定義之\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})\mathrm{Sp}(n)之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作C_n。此李代數也就是複李群\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})之李代數,記作\mathrm{sp}(2n,\mathbb{C})。它有兩個不同的實形式:

  1. 緊緻形式\mathrm{sp}(n),即\mathrm{Sp}(n)之李代數。
  2. 正規形式\mathrm{sp}(2n,\mathbb{R}),即\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})
辛群之間的關係
  矩陣 李群 dim/R dim/C 緊緻 π1
Sp(2n, R) R n(2n + 1) Z
Sp(2n, C) C 2n(2n + 1) n(2n + 1) 1
Sp(n) H n(2n + 1) 1

參見[编辑]