辛群

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李群
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群论
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數學中,辛群可以指涉兩類不同但關係密切的。在本條目中,我們分別稱之為 Sp(2n,F) 與 Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法,通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

Sp(2n, F)[编辑]

域 F 上次數為 2n 的辛群是由 2n 階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群,記為 Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一,此群是 SL(2n,F) 的子群。

抽象而言,辛群可定義為 F 上一個 2n 維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間 V 產生的辛群記為 Sp(V)。

當 n=1,有 Sp(2,F)=SL(2,F),當 n>1 時,Sp(2n,F) 是 SL(2n,F) 的真子群。

通常將域 F 取為實數域 \mathbb{R}、複數域 \mathbb{C} 或非阿基米德局部域,如p進數\mathbb{Q}_p。此時辛群 Sp(2n,F) 是維度等於 n(2n+1) 的連通代數群\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})單連通的,而 \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})基本群則同構於 \mathbb{Z}

\mathrm{Sp}(2n,F) 的李代數可以刻劃為滿足下列條件的 2n 階方陣 A

\Omega A + A^T \Omega = 0

其中 A^T 表示 A轉置矩陣,而 \Omega 是下述反對稱矩陣

\Omega =
\begin{pmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{pmatrix}

Sp(n)[编辑]

緊辛群 \mathrm{Sp}(n) 定義為 \mathrm{H}^n\mathbb{H}四元數)上保持標準埃爾米特形式

\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n

之可逆線性變換。換言之,\mathrm{Sp}(n) 即四元數上的酉群 \mathrm{U}(n,\mathbb{H})。有時此群也被稱為超酉群。\mathrm{Sp}(1) 即單位四元數構成之群,拓樸上同胚於三維球 \mathbb{S}^3

\mathrm{Sp}(n) 並不同構於之前定義的 \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})。下節將解釋其間的聯繫。

\mathrm{Sp}(n)n(2n+1) 維之緊緻、連通、單連通李群,並滿足

Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C})

李氏代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

A+A^{\dagger} = 0

其中 A^\daggerA共軛轉置(在此取四元數之共軛運算)。李括積由矩陣之交換子給出。

辛群之間的關係[编辑]

以上定義之 \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})\mathrm{Sp}(n) 之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作 C_n。此李代數也就是複李群 \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C}) 之李代數,記作 \mathrm{sp}(2n,\mathbb{C})。它有兩個不同的實形式:

  1. 緊緻形式 \mathrm{sp}(n),即 \mathrm{Sp}(n) 之李代數。
  2. 正規形式 \mathrm{sp}(2n,\mathbb{R}),即 \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})


辛群之間的關係
  矩陣 李群 dim/R dim/C 緊緻 π1
Sp(2n, R) R n(2n + 1) Z
Sp(2n, C) C 2n(2n + 1) n(2n + 1) 1
Sp(n) H n(2n + 1) 1

參見[编辑]