辛钦常数

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數論領域中,苏联數學家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦(Aleksandr Yakovlevich Khinchin)證明對於幾乎所有實數x,其連分數表示式的係數ai幾何平均數之極限存在,且與x數值無關,此數值稱為辛钦常數英语Khinchin's constant)。

以下是x連分數表示式

x = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}\;

針對任意實數x,以下的等式幾乎總是為真

\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = 
K_0

其中 K_0為辛钦常數

K_0 = 
\prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r}  \approx 2.6854520010\dotsOEIS中的数列A002210).

不符合上述條件的實數包括了有理數、實係數二次方程的解(包括黃金比例 \frac{1+\sqrt{5}}{2}),以及自然對數的底e。目前辛欽常數是否為無理數代數數仍猶未可知。雖然幾乎所有實數之連分數係數的幾何平均都趨近於辛欽常數,但除了特意建構的實數外,並沒有實數被嚴格證明有此性質,僅有一些數值上的證據,像是圓周率欧拉-马歇罗尼常数

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  • Aleksandr Ya. Khinchin. Continued Fractions. New York: Dover Publications. 1997. 
  • Ryll-Nardzewski, Czesław, On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions), Studia Mathematica, 1951, 12: 74–79 


外部連結[编辑]