边界 (拓扑学)

流形中的边界定义与此不同，请参见流形。

集合(淺藍色)和它的邊界(深藍色)。

在拓扑学中，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更形式的说，它是 S 的闭包中的不属于 S 的内部的点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的边界点。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ∂S。某些作者(比如 Willard 在《General Topology》中)使用术语“边境”而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。

S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。

常用定义

拓扑空间 X 的子集 S 的边界有一些常用(和等价)的定义:

• S 的闭包减去 S 的内部: $\partial S = \bar{S}\setminus S^o$。
• S 的边界为 S 的闭包和其补集的闭包的交集: $\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}$。
• X 中的点 p 是 S 的边界点，如果所有 p 的邻域都包含至少一个点属于 S 且至少一个点不属于 S。S 的边界是 S 的所有边界点的集合。

性质

• 集合的边界是闭集。
• p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
• 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
• 某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集，当且仅当该集合与其边界不相交。
• 某集合的边界等于其补集的边界。
• 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
• 某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。

举例

• 若 $X=[0,5) \,$，则 $\partial X = \{0,5\}$。
• $\partial \overline{B}(\mathbf{a}, r) = \overline{B}(\mathbf{a}, r) - B(\mathbf{a}, r)$
• $\partial D^n \simeq S^{n-1}$
• $\partial \emptyset = \emptyset$
• 在 R³ 中，若 Ω=x²+y² ≤ 1，则 ∂Ω = Ω；但在 R² 中，∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。

引用

• J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
• S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-201-08707-3.