边界 (拓扑学)

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流形中的边界定义与此不同,请参见流形
集合(淺藍色)和它的邊界(深藍色)。

拓扑学中,拓扑空间 X 的子集 S边界是从 S 和从 S外部都可以接近的点的集合。更形式的说,它是 S闭包中的不属于 S内部的点的集合。S 的边界的元素叫做 S边界点。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ∂S。某些作者(比如 Willard 在 General Topology 中)使用术语“边境”而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。

S 的边界的连通单元叫做 S边界单元

定义[编辑]

拓扑空间(X,\tau)的子集S边界有一些常用(和等价)的定义:

  • S闭包减去S内部\partial S = \bar{S} - S^o
  • S的闭包和其补集的闭包的交集:\partial S = \bar{S} \cap \overline{ (X - S)}
  • X中既不属于S的闭包也不属于S的内部的部分:\partial S = X - A^o - \bar{A}
  • S是所有满足以下条件的点x的集合:x的每个邻域都包含至少一个点属于S,且至少一个点不属于S。这些点称为S边界点

性质[编辑]

  • 集合的边界是闭集
  • p 是某集合的边界点,当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
  • 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
  • 某集合是闭集,当且仅当该集合的边界在该集合中;某集合是开集,当且仅当该集合与其边界不相交。
  • 某集合的边界等于其补集的边界。
  • 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
  • 某集合的边界为空,当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。

举例[编辑]

  • X=[0,5) \,,则 \partial X = \{0,5\}
  • \partial \overline{B}(\mathbf{a}, r) = \overline{B}(\mathbf{a}, r) - B(\mathbf{a}, r)
  • \partial D^n \simeq S^{n-1}
  • \partial \emptyset = \emptyset
  • R3 中,若 Ω=x2+y2 ≤ 1,则 ∂Ω = Ω;但在 R2 中,∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}。所以,集合的边界依赖其背景空间。

引用[编辑]