达布定理 (微分几何)

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达布定理数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理,部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理。它是包括辛几何在内多个领域的基石。这个定理以让·加斯东·达布[1] 命名,他在解 Pfaff 问题[2] 时建立了这个定理。

这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的。这就是说,任何 2n-维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间 Cn。应用于切触几何也有类似的结论。

定理的陈述和第一个推论[编辑]

定理准确的陈述如下。[3] 设 θ 是一个 n 维流形上的 1-形式,使得 dθ 有常秩 p 。如果任一点都有

θ ∧ (dθ)p = 0 ,

那么有一个局部的坐标系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp ,在这个坐标系下

θ = x1 dy1 + ... + xp : θ = x1 dy1 + ... + xp dyp + dxp+1

dyp。 另一个方面,如果任一点有

θ ∧ (dθ)p ≠ 0 任何处,

那么有一个局部坐标系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp 使得

θ = x1 dy1 + ... + xp dyp + dxp+1.

特别的,设 ω 是 n=2m 维流形 M 上的一个辛 2-形式。M 上任一点 p 的局部,由 庞加莱引理,总有一个 1-形式 θ 满足 dθ=ω 。进一步 θ 满足达布定理的第一个假设,从而局部存在一个 p 附近的坐标卡 U 使得

θ = x1 dy1 + ... + xm dym

外导数便有

ω = dθ = dx1 ∧ dy1 + ... + dxm ∧ dym

坐标卡 U 称为 p 附近的达布坐标卡。[4] 流形 M 能被这样的卡覆盖

换一种方式叙述,将 R2mCm 等同起来,令 zj = xj + i yj。如果 φ : UCn是一个达布坐标卡,那么 ω 是标准辛形式 ω0Cn 上的拉回:

\omega = \phi^{*}\omega_0\,

和黎曼几何的比较[编辑]

这个结论意味着辛几何没有局部不变性:在任何一点附近,总能取一个达布基。这和黎曼几何具有显著的不同,高斯绝妙定理指出曲率是黎曼几何的一个局部不变量。曲率阻碍了将度量局部写成一个平方和。

必须要强调的是,达布定理是说 ω 能在 p 附近的“整个邻域”写成一个标准形式。黎曼几何中,度量总能在给定一“点”写成一个标准形式,但一般不能在那个点的邻域,除非局部为欧氏空间。

又见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Darboux (1882).
  2. ^ Pfaff (1814-1815).
  3. ^ Sternberg (1964) p. 140-141.
  4. ^ Cf. with McDuff and Salamon (1998) p. 96.

参考文献[编辑]

  • Darboux, Gaston. Sur le problème de Pfaff. Bull. Sci. Math. 1882, 6: 14–36, 49–68. 
  • Pfaff, Johann Friedrich. Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin. 1814-1815: 76–136. 
  • Sternberg, Shlomo. Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 1964. 
  • McDuff, D. and Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 0-19-850451-9. 

外部链接[编辑]