过剩数

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在数论中,若一个正整數除了本身外之所有正因數之和比此数自身大,則稱此數為過剩數。(又称作丰数盈数)。

更为严格地说,過剩數是指使得函数 σ(n) > 2n的正整数,其中指的是因数和函数,即n的所有正因数(包括n)之和。σ(n) − 2n称作n盈度

例如12的正因數有 1,2,3,4,6,12,而1+2+3+4+6+12=28,28>12\times2,所以12可稱為過剩數。

最小的一些過剩數是: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …OEISA005101

以上列出的過剩數都是偶数。最小的奇過剩數是945。1998年Marc Deléglise 证明了過剩數在自然数中的自然密度介于0.2474 与0.2480之间。

奇過剩數和偶過剩數都有无穷多个,因为每个完全数和過剩數的倍数(不包括它们自身)都是過剩數。甚至,每个大于20161的数都可以写成两个過剩數之和。許多過剩數一部分真因數的和等於過剩數自身,這樣的過剩數也是半完全数,一個不是半完美数的過剩數叫做奇异数;盈度为1的過剩數叫做准完全数

与過剩數相关的概念是完全数σ(n) = 2n)和亏数σ(n) < 2n)。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

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