# 运动学

——愛德蒙·維特克，于《質點與剛體分析動力學通論》

## 質點運動學

### 位置、參考系

$\mathbf{r} = (x,y,z)$

$|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{\ 2} + y^{\ 2} + z^{\ 2}}$

### 路徑、路徑距離、位移

$\mathbf{r}_{P/Q} = \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q = (x_P - x_Q,y_P - y_Q,z_P - z_Q)$

$s = \int_{t_1}^{t_2} |\mathrm{d}\mathbf{r}| = \int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}s =\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2} = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2}\; \mathrm{d}t$

### 速度、加速度

$\overline{\mathbf{v}} = \frac {\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$

$\mathbf{v}\ \stackrel{def}{=}\ \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$

$v=|\mathbf{v}| = \left|\frac {\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right| = \frac {\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

$\overline{\mathbf{a}} = \frac {\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$

$\mathbf{a}\ \stackrel{def}{=}\ \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac {\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t}$

$\mathbf{v}(t) =\mathbf{v}_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{a}(t) \ \mathrm{d}t$
\begin{align} \mathbf{r}(t) &=\mathbf{r}_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{v}(t) \ \mathrm{d}t \\ &= \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \int_{t_0}^t \left[\int_{t_0}^{t} \mathbf{a}(t) \mathrm{d}t \right]\ \mathrm{d}t \\ \end{align}

### 相對運動

$\mathbf{r}_{P/G} = \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_G$
$\mathbf{r}_{Q/G} = \mathbf{r}_Q - \mathbf{r}_G$

$\mathbf{r}_{P/Q}= \mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q=\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_G- \mathbf{r}_Q + \mathbf{r}_G=\mathbf{r}_{P/G} - \mathbf{r}_{Q/G}$

$\mathbf{r}_{P/G} = \mathbf{r}_{P/Q} + \mathbf{r}_{Q/G}$

$\mathbf{v}_{P/Q}= \mathbf{v}_{P}-\mathbf{v}_{Q}$

$\mathbf{a}_{P/Q}= \mathbf{a}_P - \mathbf{a}_Q$

### 直线运动

$\overline{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$
$v=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$

$\overline{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$
$a=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}$

$v(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$
$a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$

$x_f=x_i+vt$

$x_f - x_i = v_i t + \frac{1}{2} at^2$
$x_f - x_i = \frac{1}{2} (v_f + v_i)t$
$v_f = v_i + a t$
$v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)$

#### 实例：等加速直线运动

$x_f=x_i+v_it+\frac{1}{2}at^2$

$0 = v_i t + \frac{1}{2} at^2 = t(v_i + \frac{1}{2} at)$

$t = -\frac{2v_i}{a} = -\frac{2*50}{-9.81} = 10.2 \ s$

$v_f^2 = v_i^2 + 2 a (x_f - x_i)$

$x_f = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2 a} + x_i = \frac{0-50^2}{2*-9.81}+0 = 127.55 \ m$

$v_f=\sqrt{v_i^2+2a(x_f-x_i)}=\sqrt{0^2+2(-9.81)(0-127.55)}=50\ m/s$

### 曲线运动

$\mathbf{v}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}$

$\Delta t\to 0$ 极限得到的速度向量，正切曲线于質點的位置。

$v=\begin{vmatrix}\mathbf{v}\end{vmatrix}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

$\mathbf{a}=\lim_{{\Delta t} \to 0}\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}$

#### 直角坐标系

$\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$
$\mathbf{v}=v_x\hat{\mathbf{x}}+v_y\hat{\mathbf{y}}+v_z\hat{\mathbf{z}}$
$\mathbf{a}=a_x\hat{\mathbf{x}}+a_y\hat{\mathbf{y}}+a_z\hat{\mathbf{z}}$

$v_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\ \ , \qquad \qquad v_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\ \ ,\qquad \qquad v_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$
$a_x=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\ , \qquad\qquad a_y=\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\ ,\qquad \qquad a_z=\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}$

#### 极坐标系

$\mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}}$
$\mathbf{v}=\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}$
$\mathbf{a}=(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)\hat{\mathbf{r}} +(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}}$

$\alpha=\dot{\omega}=\ddot{\theta}$

$\theta_f - \theta_i = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
$\theta_f - \theta_i = \frac{1}{2} (\omega_f + \omega_i)t$
$\omega_f = \omega_i + \alpha t$
$\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha (\theta_f - \theta_i)$

#### 实例：等加速曲线运动

$\Delta x=x_f-x_i=v_i\cos (\Phi) \ t+\frac{1}{2}at^2=v_i\cos (\Phi)\ t$

$0=v_i\sin (\Phi)\ t+\frac{1}{2}at^2=t(v_i\sin (\Phi)+\frac{1}{2}at)$

$\Delta x=v_i\cos(\Phi)\left(\frac{-2v_i\sin(\Phi)}{a}\right)=-\frac{v_i^2\sin 2(\Phi)}{a}=220.70\ m$

### 二維旋轉參考系

#### 單位向量的時間變化率

$\hat{\mathbf{e}}_x=\hat{\mathbf{x}}$
$\hat{\mathbf{e}}_y=\hat{\mathbf{y}}$

$\hat{\mathbf{e}}_x=\cos(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\sin(\omega t)\hat{\mathbf{y}}$
$\hat{\mathbf{e}}_y= - \sin(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\cos(\omega t)\hat{\mathbf{y}}$

$\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_x}{\mathrm{d}t}= - \omega\sin(\omega t)\hat{\mathbf{x}}+\omega\cos(\omega t)\hat{\mathbf{y}}=\omega\hat{\mathbf{e}}_y$
$\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_y}{\mathrm{d}t} = - \omega\cos(\omega t)\hat{\mathbf{x}} - \omega\sin(\omega t)\hat{\mathbf{y}} = - \omega\hat{\mathbf{e}}_x$

\begin{align}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right) & =\dot{f}_x\hat{\mathbf{x}}+\dot{f}_y\hat{\mathbf{y}} \\ & =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y +F_x\left(\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_x}{\mathrm{d}t}\right)+F_y\left(\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{e}}_y}{\mathrm{d}t}\right) \\ & =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y +F_x\omega\hat{\mathbf{e}}_y - F_y\omega\hat{\mathbf{e}}_x \\ & =\dot{F}_x\hat{\mathbf{e}}_x+\dot{F}_y\hat{\mathbf{e}}_y +\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F} \\ \end{align}

$\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}$

$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}}+\boldsymbol{\omega}\times$

#### 位置、速度、加速度

$\mathbf{r}= x_S \ \hat{\mathbf{x}}+ y_S \ \hat{\mathbf{y}}$

$\mathbf{r} = x_R\ \hat{\mathbf{e}}_x + y_R\ \hat{\mathbf{e}}_y$

$\mathbf{v}\ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}} +\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r} = \mathbf{v}_R + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$

\begin{align}\mathbf{ a} & \ \stackrel{def}{=}\ \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\ & =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} +\left(\frac{\mathrm{d}(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\ & =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} +\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}\times\mathbf{r} +\boldsymbol{\omega}\times\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} \\ & =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} +\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r} +\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v} \\ \end{align}

$\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}} =\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_R}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{rotate}} +\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_R =\mathbf{a}_R+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_R$

$\mathbf{a} = \mathbf{a}_R + 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}_R + \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})$

## 刚体运动学

1. 剛體的「位置」：挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，通常會設定物體的質心形心為這一點。從空間參考系S觀測，點G的位置就是整個剛體在空間的位置。位置可以應用向量的概念來表示：向量的起點為參考系S的原點，終點為點G。
2. 剛體的取向：描述剛體取向的方法有好幾種，包括方向餘弦歐拉角四元數等等。這些方法設定一個附體參考系B的取向（相對於空間參考系S）。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體，附體參考系的取向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動，所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系，例如，在觀測飛機的飛行運動時，附著於飛機場控制塔的參考系可以設定為空間參考系，而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。

### 沙勒定理

$\mathbf{r}_P=\mathbf{r}_{G}+\mathbf{r}_{P/G}$

### 向量的時間變化率

$\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{F}$

$\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times$

### 運動學方程式

$\mathbf{r}_P=\mathbf{r}_{G}+\mathbf{r}_{P/G}$

$\mathbf{v}_P=\mathbf{v}_{G}+\mathbf{v}_{P/G}$

$\mathbf{v}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{P/G}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{body}}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}$

$\mathbf{v}_P=\mathbf{v}_{G}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G}$

$\mathbf{a}_P=\mathbf{a}_{G}+\mathbf{a}_{P/G}$

$\mathbf{a}_{P/G}=\left(\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t}\right)_{\mathrm{space}}\times\mathbf{r}_{P/G}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}_{P/G} =\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{P/G}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{P/G})$

## 運動約束

「運動約束」指的是一個動態系統的運動必須符合的約束條件。以下列出一些例子：

### 純滾動

$\mathbf{v}_{cm}= \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{cm/O}$

$v =r_{cm/O}\omega$

### 無伸縮性繩子

• 單擺：將一根無伸縮性繩子的一端固定，另外一端繫住一個錘。這就形成了一個簡單擺。在基礎動力學裏，簡單擺問題研究錘的擺動運動跟繩子長度、錘重量之間的關係。
• 溜溜球：在兩片圓盤之間連結的捲軸，繫著一根無伸縮性繩子。這就是古今中外、廣為流行的溜溜球玩具。
• 懸鏈線：將無伸縮性繩子的兩端分別固定於兩點，由於均勻引力作用於繩子的每一部份而形成的曲線形狀稱為懸鏈線[6]

## 參考文獻

1. ^ Beer, Ferdinand; Johnston, Jr., E. Russ, Vector Mechanics for Engineers:dynamics. 7th. 2004:  pp. 602, ISBN 007230492s
2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Whittaker, Edmund. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies. Cambridge University Press. 1917: chapter 1.
3. ^ R. Douglas Gregory. Classical mechanics: an undergraduate text. Cambridge: Cambridge University. 2006: pp. 475–476. ISBN 0521826780.
4. ^ Lorenzo Sciavicco, Bruno Siciliano. §2.4.2 Roll-pitch-yaw angles//Modelling and control of robot manipulators 2nd. Springer. 2000. 32. ISBN 1852332212.
5. ^ William Thomson Kelvin & Peter Guthrie Tait. Elements of Natural Philosophy. Cambridge University Press. 1894. 4. ISBN 1573929840.
6. ^ Morris Kline. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. 1990. ISBN 0195061365.
• Moon, Francis C. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. Springer. 2007. ISBN 9781402055980.