近域

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代数结构中,近域在概念上类似除环,但两个分配律只满足一个。另外,近域和近环的区别为近域一定有一个乘法单位元,而且每一个非零元素都有乘法逆元

定义[编辑]

近域是一集合 Q, ,任两个元素有两个二元运算,“+”(加号)和“·”(乘),满足下列公理:

A1: (Q, +)阿贝尔群
A2: (a·b)·c = a·(b·c) 对所有元素 a, b, c of Q (乘法结合律)。
A3: (a + b) · c = a ·c  +  b · c 对所有元素 a, b, c of Q (乘法右分配律)。
A4: Q 含单位元1 1 · a = a · 1 = a 对所有元素 a of Q (乘法单位元)。
A5:对所有元素a Q 存在元素 a −1 such that  a · a −1 = 1 =  a −1· a (非零元素都有乘法逆元)。

定义附注:

  • 上面定义严格说是一个右近域。取代A3左分配律 c ·(a + b)  = c · a  +  c · b 我们得到了一个左近域。最常用的是右近域,但是这不是一个普遍定义。

近域可以等效定义为乘法满足右结合律的伪域(quasifield)。

  • 这是没有必要指定加群阿贝尔群,因为可从其他公理推出,但推出过程是相当困难的。[1][2][3]
  • 有的定义中A4和A5是由以下公理替换

A4*:一个加群非零元素又是乘法群。 但这种替换不严格,如: x · 0 = 0 for all  x 。所以最好用原始定义。

  • 2阶加群可以定义一种特殊结构,定义乘法: x · y  = x for all  x and  y

例子[编辑]

  1. 所有除环都是近域.所有域都是近域。
  2. 下面定义一个九阶近域.它是最小的非域的近域:
    K 为九阶伽罗华域.运算为' * ', 定义一个新乘法二元运算'·':

如果K中元素 b K一个元素平方, a K 中任意元素,则: a ·  b = a*b. 如果 b 不是一个元素平方,则: a ·  b = a3*b. 这个又通过定义一个新乘法成近域,其旧运算不变。.[4]

历史与应用[编辑]

近域的概念迪克森(L.E. Dickson)在1905年首次引入。他对除环修改其乘法,留下了加法,由此产生了第一个已知非除环的近域的例子。近域最早称迪克森近域,就指上述9阶近域。 扎斯豪斯(zassenhaus)证明所有非7阶近域的有限近域要么是除环要么是迪克森近域。[2] 近域的概念,最早的应用是在几何研究,如投影几何的研究[5][6]投影几何投影坐标系定义除环,但别的坐标系不能。9阶迪克森近域的投影平面后被马歇尔·豪尔(Marshall Hall)投影平面。 在几何方面还有许多其他应用.[7]。应用在密码学方面对数据加密希尔密码.[8]

参考文献[编辑]

  1. ^ J.L. Zemmer, "The additive group of an infinite near-field is abelian" in J. London Math. Soc. 44 (1969), 65-67.
  2. ^ H Zassenhaus, Abh. Math. Sem. Hans. Univ. 11, pp 187-220.
  3. ^ B.H. Neumann, "On the commutativity of addition" in J. London Math. Soc. 15 (1940), 203-208.
  4. ^ G. Pilz, Near-Rings, page 257.
  5. ^ O. Veblen and J. H. Wedderburn "Non-desarguesian and non-pascalian geometrie" in Trans. Amer. Math. Soc. 8 (1907), 379-388.
  6. ^ P. Dembrowski "Finite geometries" Springer, Berlin, (1968).
  7. ^ H. Wahling "Theorie der Fastkörper", Thaïes Verlag, Essen, (1987).
  8. ^ M. Farag, "Hill Ciphers over Near-Fields" in Mathematics and Computer Education v41 n1 (2007) 46-54.

外部链接[编辑]