连分数

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数学中,分数繁分数即如下表达式:

x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}

这里的a_0是某个整数,而所有其他的数a_n都是正整数,可依樣定义出更长的表达式。如果部分分子(partial numerator)和部分分母(partial denominator)允许假定任意的值,在某些上下文中可以包含函数,则最終的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式與广义连分数相區別的时候,可稱它為简单正规连分数,或称为是规范形式的。

例子[编辑]

连分数常用于无理数的逼近,例如:

 \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}}} 由此得到 \sqrt{2} 渐近分数\frac{1}{1}\frac{3}{2}\frac{7}{5}\frac{17}{12}、……

 \frac{\sqrt{5} -1}{2} = \frac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}} 由此得到黄金分割的渐近分数\frac{1}{1}\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{5}\frac{5}{8}\frac{8}{13}、……

注意将上述系列的分子分母依序排列均可得到斐波那契数列

 \pi = 3 + \frac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}} 由此得到圆周率的渐近分数\frac{3}{1}\frac{22}{7}約率)、\frac{333}{106}\frac{355}{113}密率)、\frac{103993}{33102}、……

数学上可以证明,由(狭义)连分数得到的渐近分数,在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中,其值是最接近精确值的近似值。

动机[编辑]

研究连分数的动机源于想要有实数在“数学上纯粹”的表示。

多数人熟悉实数的小数表示:

r = \sum_{i=0}^\infty a_i 10^{-i}

这里的a0可以是任意整数,其它ai都是{0, 1, 2, ..., 9}的一个元素。在这种表示中,例如数π被表示为整数序列{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}。

这种小数表示有些问题。例如,在这种情况下使用常数10是因为我们使用了10进制系统。我们还可以使用8进制或2进制系统。另一个问题是很多有理数在这个系统内缺乏有限表示。例如,数1/3被表示为无限序列{0, 3, 3, 3, 3, ....}。

连分数表示法是避免了实数表示的这两个问题。让我们考虑如何描述一个数如415/93,约为4.4624。近似为4,而实际上比4多一点,约为4 + 1/2。但是在分母中的2是不准确的;更准确的分母是比2多一点,约为2 + 1/6,所以415/93近似为4 + 1/(2 + 1/6)。但是在分母中的6是不准确的;更准确分母是比6多一点,实际是6+1/7。所以415/93实际上是4+1/(2+1/(6+1/7))。這樣才准确。

去掉表达式4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7))中的冗余部分可得到简略记号[4; 2, 6, 7]。

实数的连分数表示可以用这种方式定义。它有一些可取的性质:

  • 一个数的连分数表示是有限的,当且仅当这个数是有理数
  • “简单”有理数的连分数表示是简短的。
  • 任何有理数的连分数表示是唯一的,如果它没有尾随的1。([a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1])
  • 无理数的连分数表示是唯一的。
  • 连分数的项会循環当且仅当它是一个二次无理数(即整数系数的二次方程的实数解)的连分数表示[1][2]
  • x的截断连分数表示很早产生x的在特定意义上“最佳可能”的有理数逼近(参閱下述定理5推论1)。

最後一个性质非常重要,且傳統的小數點表示就不能如此。数的截断小数表示产生这个数的有理数逼近,但通常不是非常好的逼近。例如,截断1/7 = 0.142857...在各种位置上产生逼近比,如142/1000、14/100和1/10。但是明显的最佳有理数逼近是「1/7」自身。π的截断小数表示产生逼近比,如31415/10000和314/100。π的连分数表示开始于[3; 7, 15, 1, 292, ...]。截断这个表示产生極佳的有理数逼近3、22/7、333/106、355/113、103993/33102、...。314/100和333/106的分母相當接近,但近似值314/100的误差是遠高於333/106的19倍。作为对π的逼近,[3; 7, 15, 1]比3.1416精确100倍。

連分數表示的算法[编辑]

考虑实数r。设ir的整数部分,而f是它的小数部分。则r的连分数表示是[i;…],这里的「…」是1/f的连分数表示。習慣上用分號取代第一個逗號。

要计算实数r的连分数表示,写下r的整数部分(技术上floor)。从r减去这个整数部分。如果差为0则停止;否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止,当且仅当r是有理数。

找出3.245的连分数
3\, 3.245 - 3\, = 0.245\, 1 / 0.245\, = 4.082\,
4\, 4.082 - 4\, = 0.082\, 1 / 0.082\, = 12.250\,
12\, 12.250 - 12\, = 0.250\, 1 / 0.250\, = 4.000\,
4\, 4.000 - 4\, = 0.000\, 停止
3.245的连分数是[3; 4, 12, 4]
3.245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}}

数3.245还可以表示为连分数展开[3; 4, 12, 3, 1];参见下面的有限连分数。

这个算法适合於实数,但如果用浮点数实现的话,可能导致数值灾难。作为替代,任何浮点数是一个精确的有理数(在现代计算机上分母通常是2的幂,在电子计算器上通常是10的幂),所以欧几里得GCD算法的变体可以用来给出精确的结果。

连分数的表示法[编辑]

可以把连分数简写作:

x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;

或者,用Pringsheim的记法写作:

x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3}

还有一个有关的记法:

x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +}

有时使用尖括号,如:

x = \left \langle a_0; a_1, a_2, a_3 \right \rangle \;

在使用尖括号的时候,分号是可选的。

还可以定义无限简单连分数极限

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}]

对于正整数a1, a2, a3 ...的任意选择,皆存在此一极限。

或者可以用高斯的记法

x = a_0 + \underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm K}} ~ \frac{1}{a_i} \;

有限连分数[编辑]

所有有限连分数都表示一个有理数,而所有有理数都可以按两种不同的方式表示为有限连分数。这两种表示除了最终项之外都是一致的。在較長的连分数表示,其最终项是1;較短的表示去掉了最後的1,而向新的终项加1。在短表示中的最终项因此大於1,如果短表示至少有两项的话。其符号表示:

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots, a_{n} + 1] \;

例如:

 2.25 = 9/4 = [2; 3, 1] = [2; 4] \;
 -4.2 = -21/5 = [-5; 1, 3, 1] = [-5; 1, 4] \;

连分数的倒数[编辑]

有理数的连分数表示和它的倒数除了依据这个数小於或大於1而分别左移或右移一位以外是相同的。换句话说,[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n][0;a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n]互为倒数。这是因为如果a\ 是整数,接著如果x<1\ ,则x = 0+1/(a+1/b)\ 1/x = a+1/b\ ,而且如果x>1\ ,则x = a+1/b\ 1/x = 0+1/(a+1/b)\ 带有最後的数生成对x\ 和它的倒数是同样的的连分数的餘数。

例如:

 2.25 = \frac{9}{4} = [2; 4] \;
 \frac{1}{2.25} = \frac{4}{9} = [0; 2, 4] \;

无限连分数[编辑]

所有无限连分数都是无理数,而所有无理数可用一种精确的方式表示为无限连分数。

无理数的无限连分数表示是非常有用的,因为它的初始段提供了对这个数的优异的有理数逼近。这些有理数可以叫做这个连分数的收敛(convergent,也译为“渐进”)。所有偶数编号的收敛都小於最初的数,而奇数编号的收敛都大於它。

对於连分数[a_0;a_1,a_2,\ldots],前四个收敛(编号03)是


\frac{a_0}{1},\qquad
\frac{a_1a_0+1}{a_1},\qquad
\frac{    a_2(a_1a_0+1)+a_0}{a_2a_1+1},\qquad
\frac{a_3(a_2(a_1a_0+1)+a_0)+(a_1a_0+1)}{a_3(a_2a_1+1)+a_1}

用普通語言來说,第3个收敛的分子是藉由第3个商(a_2 \;)乘上第2个收敛的分子,並加上第1个收敛的分子而成。分母的形成也很类似。

如果找到连续的收敛,带有分子h_1,h_2,\ldots和分母k_1,k_2,\ldots,则相关的递归关系是:


h_n=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad
k_n=a_nk_{n-1}+k_{n-2}

连续的收敛由如下公式给出


\frac{h_n}{k_n}=
\frac{a_nh_{n-1}+h_{n-2}}{a_nk_{n-1}+k_{n-2}}

一些有用的定理[编辑]

如果a0, a1, a2, ...是正整数的无限序列,递归的定义序列h_nk_n

h_{n}=a_nh_{n-1}+h_{n-2}\, h_{-1}=1\, h_{-2}=0\,
k_{n}=a_nk_{n-1}+k_{n-2}\, k_{-1}=0\, k_{-2}=1\,

定理1[编辑]

对於任何正数x\in\mathbb{R}


\left[a_0; a_1, \,\dots, a_{n-1}, x \right]=
\frac{x h_{n-1}+h_{n-2}}
     {x k_{n-1}+k_{n-2}}

定理2[编辑]

[a0; a1, a2, ...]的收敛以


\left[a_0; a_1, \,\dots, a_n\right]=
\frac{h_n}
     {k_n}

給出。

定理3[编辑]

如果对连分数的第n个收敛是h_n/k_n,则


k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1)^n \,

推论1:每个收敛都在它的最低的那些项中(如果h_nk_n有不尋常的公约数,则它可除k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n,這當然是不可能的)。

推论2:在连续的收敛之间的差是单位分数


\left|\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} \right|=
\left|\frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}\right|=
\frac{1}{k_nk_{n-1}}

推论3:连分数等价於交替(alternating)项的级数:


a_0 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}}

推论4:矩阵

\begin{bmatrix}
h_n & h_{n-1} \\
k_n & k_{n-1}
\end{bmatrix}

有确定的正1或负1,因此属於2x2 幺模矩阵S^*L(2,\mathbb{Z})的群。

定理4[编辑]

每个(第s个)都比任何前面(第r个)收敛更接近於後续的(第n个)收敛。用符号来说,如果第n个收敛是[a_0;a_1,a_2,\ldots a_n]=x_n,则

\left| x_r - x_n \right| > \left| x_s - x_n \right|

对於所有r < s < n

推论1:奇数收敛(在第n个之前)持续递增而总是小於xn

推论2:偶数收敛(在第n个之前)持续递减而总是大於xn

定理5[编辑]


\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n)}<
\left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|<
\frac{1}{k_nk_{n+1}}

推论1:任何收敛都比其分母小於这个收敛的分母的任何其他分数更接近於这个连分数。

推论2:立即前导於一个大商的任何收敛都是对这个连分数的接近逼近。

半收敛[编辑]

如果\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}}\frac{h_n}{k_n}是连续的收敛,则如下形式的任何分数

\frac{h_{n-1} + ah_n}{k_{n-1}+ak_n}

这里的a是非负整数,而分子和分母在nn+1项(包含它们)之间,叫做“半收敛”、次收敛或中间分数。这个术语经常意味着排除了是收敛的可能性,而不是收敛是一种半收敛。

对实数x的连分数展开的半收敛包括了所有比有更小分母的任何逼近都好的有理数逼近。另一个有用的性质是连续的半收敛a/b和c/d有着ad-bc = \pm 1

最佳有理数逼近[编辑]

连分数理论在丢番图逼近领域起基础性的作用,可以解决实数的最佳逼近问题,具体可参阅相应主页面。事实上,最初发展连分数理论的动机正是为了解决实数的最佳逼近问题。[3]

连分数历史[编辑]

Cataldi表示连分数为 a_0.\, & n_1 \over d_1。& n_2 \over d_2。& {n_3 \over d_3} 带有指示随后连分数要去的地方的点
  • 1695年-约翰·沃利斯,《Opera Mathematica》 - 介入了术语“连分数”
  • 1780年-约瑟夫·拉格朗日 - 使用类似于Bombell的连分数提供了佩尔方程的通用解
  • 1748 莱昂哈德·欧拉,《Introductio in analysin infinitorum》. Vol. I, Chapter 18 - 证明了特定形式的连分数和广义无穷级数的等价性
  • 1813年-卡尔·弗里德里希·高斯,《Werke》,第三冊, 134-138頁 - 通过涉及到超几何级数的一个聪明的恒等式推导出非常一般性的复数值的连分数

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.
  2. ^ [1]
  3. ^ (前苏联)辛钦著,刘诗俊、刘绍越译. 连分数. 上海: 上海科学技术出版社. 1965: 28–29. 

外部链接[编辑]

参考文献[编辑]

  • (前苏联)辛钦(A. Ya. Khinchin)著,刘诗俊、刘绍越译. 连分数. 上海: 上海科学技术出版社. 1965. 
  • Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
  • Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992 ISBN 978-981-02-1052-6
  • H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ISBN 0-8284-0207-8