连通图

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图论中,连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中,若从顶点v_i到顶点v_j有路径相连(当然从v_jv_i也一定有路径),则称v_iv_j是连通的。如果 G有向图,那么连接v_iv_j的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。

严格定义[编辑]

对一个图 G=(V,E) 中的两点 xy ,若存在交替的顶点和边的序列\Gamma = (x=v_0 - e_1 - v_1 - e_2 - \cdots - e_{k} - v_{k+1} = y)(在有向图中要求有向边v_i - v_{i+1}属于 E ),则两点 xy 是连通的。\Gamma是一条xy的连通路径,xy分别是起点和终点。当 x=y 时,\Gamma 被称为回路。如果通路 \Gamma 中的边两两不同,则 \Gamma 是一条简单通路,否则为一条复杂通路。如果图 G 中每两点间皆连通,则 G连通图

相关概念[编辑]

  • 连通分量:无向图 G 的一个极大连通子图称为 G 的一个连通分量(或连通分支)。连通图只有一个连通分量,即其自身;非连通的无向图有多个连通分量。
  • 强连通图:有向图 G=(V,E) 中,若对于V中任意两个不同的顶点 xy ,都存在从xy 以及从 yx 的路径,则称 G强连通图(Strongly Connected Graph)。相应地有强连通分量(Strongly Connected Component)的概念。强连通图只有一个强连通分量,即是其自身;非强连通的有向图有多个强连通分量。
  • 初级通路:通路中所有的顶点互不相同。初级通路必为简单通路,但反之不真。

性质[编辑]

一个无向图 G=(V,E) 是连通的,那么边的数目大于等于顶点的数目减一: |E| \ge |V|-1,而反之不成立。

如果 G=(V,E) 是有向图,那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目: |E| \ge |V|,而反之不成立。

没有回路的无向图是连通的当且仅当它是,即等价于:\displaystyle |E| = |V|-1

参考来源[编辑]

  • Fred Buckley,Marty Lewinter。《图论简明教程》。李慧霸 王凤芹 译。北京:清华大学出版社。2005 年。
  • W.T.Tutte, Graph Theory . Cambridge University Press . 2004 .