连通图

在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中，若从顶点$v_i$到顶点$v_j$有路径相连(当然从$v_j$到$v_i$也一定有路径)，则称$v_i$和$v_j$是连通的。如果 G 是有向图，那么连接$v_i$和$v_j$的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。

严格定义

对一个图 G=(V,E) 中的两点 $x$ 和 $y$ ，若存在交替的顶点和边的序列$\Gamma = (x=v_0 - e_1 - v_1 - e_2 - \cdots - e_{k} - v_{k+1} = y)$（在有向图中要求有向边$v_i - v_{i+1}$属于 E ），则两点 $x$ 和 $y$ 是连通的。$\Gamma$是一条$x$到$y$的连通路径，$x$和$y$分别是起点和终点。当 $x=y$ 时，$\Gamma$ 被称为回路。如果通路 $\Gamma$ 中的边两两不同，则 $\Gamma$ 是一条简单通路，否则为一条复杂通路。如果图 G 中每两点间皆连通，则 G 是连通图。

相关概念

• 连通分量：无向图 G 的一个极大连通子图称为 G 的一个连通分量（或连通分支）。连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。
• 强连通图：有向图 G=(V,E) 中，若对于V中任意两个不同的顶点 x 和 y ，都存在从x 到 y 以及从 y 到 x 的路径，则称 G 是强连通图(Strongly Connected Graph)。相应地有强连通分量(Strongly Connected Component)的概念。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量。
• 初级通路：通路中所有的顶点互不相同。初级通路必为简单通路，但反之不真。

性质

一个无向图 G=(V,E) 是连通的，那么边的数目大于等于顶点的数目减一：$|E| \ge |V|-1$，而反之不成立。

如果 G=(V,E) 是有向图，那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目：$|E| \ge |V|$，而反之不成立。

没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树，即等价于：$\displaystyle |E| = |V|-1$。

参考来源

• Fred Buckley,Marty Lewinter。《图论简明教程》。李慧霸 王凤芹 译。北京：清华大学出版社。2005 年。
• W.T.Tutte, Graph Theory . Cambridge University Press . 2004 .