迭代

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迭代是重复反馈过程的活动,其目的通常是为了接近并到达所需的目标或结果。每一次对过程的重复被称为一次“迭代”,而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。

在数学中[编辑]

一个五边形的迭代。将对角用直线段连起来得到一个五角星,后者中心围成了一个倒过来的小五边形。迭代地执行这一过程会产生一系列嵌套的五边形和五角星。

数学中的迭代可以指函数迭代的过程,即反复地运用同一函数计算,前一次迭代得到的结果被用于作为下一次迭代的输入。即使是看上去很简单的函数,在经过迭代之后也可能产生复杂的行为,衍生出具有难度的问题。这样的例子可以参见考拉兹猜想杂耍者序列(Juggler sequence)。又如一个简单的二次变换x→x(1-x),它的迭代将形成一个具有混沌性质的动力系统

迭代在数学中的另一应用是迭代法,用来对特定数学问题作数值解估计。牛顿法就是迭代法的一个例子。

在计算机中[编辑]

在计算机科学中,迭代程序中对一组指令(或一定步骤)的重复。它既可以被用作通用的术语(与“重复”同义),也可以用来描述一种特定形式的具有可变状态的重复。

在第一种意义下,递归迭代的一个例子,但是通常使用一种递归式的表达。比如用0!=1,n!=n*(n-1)!来表示阶乘。而迭代通常不是这样写的。

而在第二种(更严格的)意义下,迭代描述了在指令式编程语言中使用的编程风格。与之形成对比的是递归,它更偏向于声明式的风格。

这里是一个依赖于破坏性赋值的迭代的例子,以指令式虛擬碼写成:

 var i, a = 0        // 迭代前初始化
 for i from 1 to 3    // 循环3次
 {  
     a = a + i       // a的值增加i
 }
 print a              // 打印出数字6

在这个程序片段中,变量i的值会不断改变,依次取值1、2和3。这种改变赋值——或者叫做可变状态——是迭代的特征。 这里是二分法解方程的递归和迭代算法的比较。 递归:

确定开区间左边界和右边界,(L, R)L + 1 >= R(即不包含整数点),表示序列中不存在f(x)        
取中位 M = (L + R) / 2f(M) == y,返回M        
否则根据f(M)和y的关系递归查找(L, M)(M, R)

迭代:

 
确定边界(L, R)        
while (L + 1 < R) /* 区间中包含整点 */        
求中位M = (L + R) / 2f(M)等于y,退出循环       
根据f(M)与y的关系执行 L = M 或 R = M,进入下一轮循环

函数编程语言中,迭代可以用递归技巧来 下述例子用Scheme语言写成。注意它是一个递归(迭代的特例),因为函数iter在解决问题时调用了自身。特别地,它使用了尾部递归,一种能被Scheme这样的编程语言完备支持的技巧,因此程序不会占用大量堆栈

;; sum : number -> number
;; to sum the first n natural numbers
(define(sum n)
  (if (and (integer? n) (> n 0))
     (let iter ([n n] [i 1])
       (if (= n 1)
            i
            (iter (- n 1) (+ n i))))
      ((assertion-violation 
       'sum "invalid argument" n))))

迭代器(iterator)就是一个封装了迭代的对象。

参见[编辑]