迭代函数

在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。

定义

在集合 $X$ 上的迭代函数的形式定义为:

设 $X$ 是集合和 $f:X\rightarrow X$ 是函数。定义 $f$ 的 $n$ 次迭代 $f^n$ 为 $f^0=\operatorname{id}_X$ 而 $f^{n+1} = f \circ f^n$，这里的 $\operatorname{id}_X$ 是在 $X$ 上的恒等函数。

在上述中，$f \circ g$ 指示函数复合；就是说 $(f \circ g)(x)=f(g(x))$。

从迭代建立序列

函数 $f^n$ 的序列叫做 Picard 序列，得名于 Charles Émile Picard。对于一个给定 $x \in X$，$f^n(x)$ 的值的序列叫做 $x$ 的轨道。

如果对于某个整数 $m$ 有 $f^n(x) = f^{n+m}(x)$，则轨道叫做周期轨道。对于给定 $x$ 最小的这种 $m$ 值叫做轨道的周期。点 $x$ 自身叫周期点。

不动点

如果 m=1，就是说如果对于某个 X 中的 x 有 f(x) = x，则 x 被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为 Fix(f)。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性，包括巴拿赫不动点定理和 Brouwer不动点定理。

有很多技术通过不动点迭代产生了序列收敛加速。例如，应用于一个迭代不动点的 Aitken方法叫做 Steffensen方法，生成二次收敛。

极限行为

通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。

吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。

其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

例子

著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。

如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用，则迭代函数对应于自由群。

参见

• 旋转数
• Sarkovskii定理

引用

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7